Memoire sur le problems des n corps. 



11 



Dans ces developpements, les n premiers termes de dossus de la 

 premiere colonne verticale forment, d'apres la supposition, la somme 

 (^-(-^-j /Lc n ) 2 (Z,, 4 .A / . iS ,), et, a l'aide de la condition (27), les n premiers 



termes de dessus de la seconde colonne verticale forment la somme 

 pn+i 2 (jC ri A r4 ); enfin, les termes restants forment la somme (^-f ^-{-••■f^n+i) 



n 



XZ(L (n + i )s \ n + i )s )- Done, la somme totale est ( y tt 1 + / M, 2 +... / t*„ +1 )^(i rs A„) 



n+l 



et ainsi la verity de la formule (28) se trouve demontree pour l'indice 

 (w-j-l), si elle existe pour l'indice n. Mais, la formule (28) etant vraie 

 pour w = 3, elle est vraie pour n = 4, etc.; done, en general, elle est 

 vraie pour n egal k un nombre entier positif quelconque. Ainsi, le theo- 

 reme propose est demontre. 



Corollaire. D'ime maniere tout a fait analogue on aura la formule 

 generale 



(29) 2 l u 2 L ls + 2 l 2s 2 L 2s + ...2 l m 2 L ns = + ^ 2 + . . ./*„) 2 (A, s L rs ) . 



n 



9. Une equation du systeme (13) est de la forme: 



(30) ^' = li n , 



a laquelle il faut joindre l'equation (12) on 



— <r(Z r = 2* l . s m s . 



En multipliant ces deux formules et en sommant les resultats pour 

 r=\\ 2,...n, on aura, d'apres les formules (29) et (28), si Ton y fait 

 L rs = A rn K, = et r , et p s = m s : 



-<r 2 m r /2 r y£ = <r2(* rs A rs ) , 



Mais, d'apres (4), on a tt rs A rs = A r ,et r , = m,.m s LpL . Done, a l'aide 

 de (16), on trouve l'integrale des aires suivante: 



