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M. Falk, 



Remarque. II faut observer iei la necessite de la premiere condi- 

 tion de continuite, e'est-a.-dire (pie les fonctions <p et </' (on y et 7r) cloivent 

 etre reelles toutes les deux dans l'interieur d'un eontour, si petit qu'on 

 veuille, decrit autour du point en question, on dans ehaque point intcrieur 

 au contour donne. En effet, si eette condition n'est pas remplie en un 

 point donne, toutefois la seconde condition de continuite pourra l'etre. 

 Mais, dans ce cas, il n'est pas a priori impossible que, partant du point 

 en question dans diverses directions, l'une ou l'autre des fonctions <p et- ^ 

 (on y et -) devienne reelle seulement dans quelques-unes de ces directions, 

 mais imaginaire dans d'autres, ce qui revient au meme qu'alors les fonctions 

 if et '/' (ou y et — ) ne seraient pas les memes dans toutes les directions 

 issues du point, mais, au eontraire, qu'il y a limit discontinuite dans le dit 

 point a l'egard de la definition analytique de au moyen d'une equation 

 de la forme (1) ou (2). 



§ 3- 



Derivee d'une fonction imaginaire. 



5. Nous empruntons a la theorie des fonctions reelles le theoreme 

 suivant bien connu: 



0{x, y) etant reelle et continue dans chaque point de la droite qui joint 

 le point (x, y) au point (x-\-h, y-{-k), et les derivees partieEes du premier 

 ordre remplissant eette meme condition dans tous les points de la meme droite, 

 a V exception peut-etre des points extremes (x, y) et (x + h , y + k) , on a toujour s 



(3) </>(■>■ + li, y + *) — 0{x } y) = h<P' x {x + &h, y + &k) + Jc0' y (x + y + &k), 



& etant une quantite reelle comprise entre et 1. 



Quant a la forme que nous avons donnee iei aux conditions de ce 

 theoreme, il sufnt d'observer qu'on obtient la formule (3) de l'equation 



f{t)-m-tf{m) 



en posant f(t) = 0(x -f M, // + kt) et en faisant ensuite t=\. En effet, 

 faisant t varier de a 1, le point (x-\-M, y + kt) decrit la ligne droite 

 passant du point (x, y) au point (x + h, y -\- k). 



