Sue les Functions Imagin aires. 



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6. Avant de traitor de la derivee d'une fonction imaginaire, nous 

 devons faire unc remarque d'une importance fondamentale, laquelle est 

 comprise dans la proposition suivante: 



Dans chaque point (x, y) ou la fonction F(£) est continue et definie par 

 V equation (1) et ou, en out re, les derivees <p' x , <p' y , ty' x , ty' y sont continues, on 

 aura necessairement les ideutitcs 



I v'ifr y) = — y) ■ 



En effet, l'expression 



y) + y) 



etant le resultat de la substitution de x + >J'- a la place de z dans F{£) , 

 on devra de cette merne expression retrouver F(z), e'est-a-dire une fonction 

 independante de y, si Ton y rcmplace x par sa valeur tirec de l'equation 



x = 2 — yi . 



Done posant 



T=<p{x, y) + i<p(x, y) 



et denotant par T ce que devient T par la dite substitution, on devra 

 avoir identiquement 



Mais de la definition de 7" il suit 



tT' . , . ,^ac 



Cy 77 ■ dy 

 tx 



d'ou Ton obtient, a cause de = — i, l'identite 



y) + f'tfa y) + '['/'',(■' > y)—9'*(v> y)] ■ 



Comme dans cette formule le second membre doit etre identiquement nul, 

 on obtient les identitcs (4). La proposition est done demontree. 



Mais il faut bien remarqucr que ce theoreme pent etre en defaut 

 si, contrairement a notre hypothese, une ou plusieurs des fonctions <p, »/> 



