6 M. Falk, 



et leurs derivees partielles du premier ordre cessent d'etre continues dans 

 le point (x, y). 



7. Definition de hi derivee. Confornienient a la tlicorie des fonctions 

 reelles, la derivee F'(z) de F(z) sera dermic par la formule 



(5) Fi A . r„n ^±M=M . 



Posons 



z — x + yi , /\£=h-\- M ; 

 alors nous obtiendrons en vertu de l'equation (1) 



F(z+Az) — F(z) = ?(.v + h, y + k) - gfo y) + /['/'(■« + j, y + g - fffc //)] _ 



Maintcnant supposant <p, '/' et leurs derivees partielles du premier ordre 

 donees des proprietes necessaires et suifisantes pour que l'equation (3) soit 

 vraie pour — (f et = '/', l'equation que nous venons d'obtenir pourra 

 s'ecrire 



h\z+ Azy— F(z) _ 

 Az 



_ h<p'Xz+dh, y + ftfy + kip'Xx + fth, y + i[hip' x (x + 1\ y + X k) + kip' v (x + Xh, y + XkJ] 



li + hi 



(0<tf <1, < A< 1). 



En ajoutant et en retranehant dans le numerateur du second meinbre la somme 

 hip' x {x + Ah, y + Xk) + ikif'Xx + M, y + «&) , 



on obtient aisement 



(.6) — = + ^ y + /V/ . } + iip ,^ x + ^ y + ^ + ^ 



A^ 



oil 



(7) l '-/7^U(-« + 'W, V + M) + + // + + i[y' y {x + //i, 2/ + Xk)—<p' x {x + »h, y + 9k)] J . 



La condition necessaire et suffisante pour annuller /\z etant de faire tendrc 

 vers zero, suivant une loi quelconque, h et k tous les deux, on obtient de 

 ces equations et en vertu de (5) 



