SlJR LES FONCTIONS TmAGINAIKES. 



7 



(8) = f x (x, y) + tyjfr y) , 



pourvu qu'on suppose que la continuite des derivees de tp et de '/', ainsi que 

 {'equation (1), subsiste aussi au point raeme (x, y). En effct, ees conditions 

 etant remplies, les identites (4) out aussi lieu. Done on aura necessairemerit 



car, en posant 

 on obtient 



lim U-= , 

 // + ki = r(cos cd -\- i sin co) , 

 k sin co 



h -f- Aw cos co + i sin co 

 equation qui demontre que 



lim 



= sin co (cos w — i sin co) 



A + ki 



ne pourra jamais devenir infinie. 



De l'analyse que nous venous de fa-ire nous tirons la proposition 

 suivante: 



F(z) etant une function imaginaire de la variable z — x -j- yi definie par 

 1' equation (1) et telle que les fonctions <p et f ainsi que leurs derivees par- 

 tielles du premier ordre sont continues au point (x, y), sa dericee F'($) sera in- 

 dependanle de la valeur Umite de co (V argument de A,s), e'est-a-dire indepen- 

 dable de la hi suivant laquelle on fait tendre vers zero les quantites It et k 

 simultanement. 



D'apres ce que nous avons dit dans les numeros precedents il faut 

 remarquer que cette proposition pent etre en defaut si, contrairement aux 

 hypotheses admises, les conditions de continuite ne sont pas toutes remplies. 



Remarque. D'un autre cote nous verrons maintenant que, quand les 

 conditions reJativement a la continuite des fonctions y>, y et de leurs derivees 

 ainsi qua la definition de F(,t) cm rnoyen de I 'equation (1) sont toutes remplies, 

 la derivee F{£) s'obtiendra par les regies ordinaires de differentiation des fonc- 

 tions reelles, si on les applique a la fonction F(z) en la regardant comvne 

 fonction des deux variables x et y et en traitant i comme une constanle recite. 



En effet, differentions, dans ces hypotheses, l'equation (1) d'abord par 

 rapport a x, ensuite par rapport a y\ il viendra 



