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M. Falk, 



Maintenant de 

 on obtient 



= <p' x {x, y) + if' x (x, y) , 



— # -j- 

 rfo = dx -\- . 



En vertu de cette derniere equation et des identites (4) les equations 

 precedentes donnent 



Jr dX ^ ~^y dy = W*( x > y ) + ^'xfa ^)] ^ • 



Mais -F(^) etant fonction de ,r et de ?/ on a, d'apres les regies ordinaires 

 de differentiation des fonctions reelles de deux variables independantes 



(9) ^ dx+ ^ d ^ = dF( i ) , 



dx oy 



Cette equation jointe a lequation (8) reduit la precedente a 



(10) dF(e) = -F'(fs)de, 

 laquelle demontre bien le theoreme. 



8. De la definition donnee et des expressions obtenues pour la de- 

 rivee de F(z), il suit qu'elle est fonction de x et de y. Mais de ces circon- 

 stances seules il ne suit pas qu'elle est fonction de z, e'est-a-dire de la seule 

 combinaison x -f- yi, et sans cela la notation F'(z) ne serait pas juste. Mainte- 

 nant nous allons demontrer que la derivee de F(z) s'exprimc en fonction 

 de la seule variable z, an moins si les derivees partielles de (f et de V du 

 second ordre sont continues an point eonsidere. 



En effet, designons par V Y expression 



v'Jpt y) + Wxfa y) 



qui represents la derivee de F(z), et par V ce que devient cette expression 

 en y portant la valeur de x tiree de lequation 



x = z — yi . 



La proposition sera done vraie, si V ne contient pas y explicitement on, 

 ce qui revient an meine, si Ton a 



