Sun les Functions Imaginaiuks. 



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c'est-a-dire 



(17) + ft I)' = (A + /a) 2 *» . 



De la meme maniere on deduira sans difficulte la formule generale 



(18) (*^ + *^ ( %) = (* + *0'^ ,,) «i 



laqucllc est vraie pour chaque point dans lequel F'(z),..., F { "\z) 



sont des fonctions continues, ct si de plus chacune d'elles, du moins a 

 ^exception de la derniere, a dans ee point une derivee ct que cettc derivee 

 soit celle qui lui succede immediatement dans l'ordre ou nous avons cnu- 

 mere les fonctions. 



12. Regardant t comme seulc variable, on obtient, en appliquant 

 la formule de Maclaurin a chacune de? fonctions <p{% + lit, y + kt) et 

 f{x + lit, y + kt), les formules bien connues 



+ /,, y + h)=<p(x, y)+(h^ + k^j<p(x, y) + ^{hfc + ^) <2 V(^ !!)+■■■ 

 1/9 9 V n > 1/9 9 \(" + ') 



'/'( ,; + y + ic) = H*, •v) + ( / '^ + / '-^ / )'K-, 2/) + i7a(*^ + .'/) + ••• 



1 / 9 9 V»> 1/9 9 \<» + n 



(O<0<1, 0<A<1), 



oil nous avons fait t = 1 aprcs le dcveloppement. 



Ces formules supposent que les fonctions -f- y + AY) et 

 V'(^t* + 7tf, ij-\-hi), ainsi que leurs derivees jusqu'a l'ordre (w -J- l) 1 *" 10 , soient 

 continues pour toutes les valeurs de t comprises entre t = et t = 1 et ineme 

 pour ces valeurs extremes. Cela revient au meme que les fonctions <p{%, y) 

 et ty(x, y), ainsi que toutes leurs derivees partielles jusqu'a celles de l'ordre 



