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M. Falk, 



(n + \y kms } doivent ctre continues dans tons les points de la Jiyne droite qui 

 joint le point (x, y) au point (x + h, y + k) et aussi dans ces points extremes. 

 Cependant il n'est pas absolument necessaire que la continuite des derivees 

 partielles du (n + \y kme ordre subsiste dans ces memos points extremes, mais 

 seulement dans chaque point intermediairc de la droite de jonction. 



En ajoutant les equations que nous venons d'obtcnir, apres avoir 

 multiplie la derniere par i, et en faisant usage des formules (1) 



F{z) = pfa y) + iV(x, y) , 



F(z + &z) - <p{x + h, y + k) + iy(x + h,y + k) , 



oil nous avons pose 



z = x + yi, &z = h + ki , 



nous obtieudrous 



f(, + a,) = m + (4 + *|H'> + M ! % + '%T m +■■■ 



1/3 3 \ (n) 



oil 



B = kTl( 7 ^ + J %) <n + + m i y + **) + + v + Xk)] ■ 



Maiutenant reduisant cette formule au moyen des equations (16), (17) et 

 (18), il vient, a cause de /\z = h-\-ki, 



(19) F(z + f±z) = F{z) + ^F(z) + f^F"(z) +...+ yF"\z) + B , 



JR, ay ant la meme valeur qu'auparavant. 



A cause des conditions auxquelles doivent satisfaire f, H> et leurs 

 derivees, cette formule (19) sera vraie, si la fonction F(z) et toutes ses deri- 

 vees jusqu'a cede du (n -f- \) Ume ordre sont continues dans tons les points de 

 la droite joignant le point (x, y) au point (x + h, y + k). Quant a la derivee 

 F {n+1) (z) ou, ce qui revient au meme, quant aux derivees partielles de <p 

 et de f du (n + \y kme ordre, il n'est pas absolument necessaire qu'elles 

 soient continues au point meme (x + h, y + k), mais leur continuite doit 

 subsister dans le point (x, y), puisqu'il ne serait pas permis de faire usage 

 de la formule (18), si cette derniere condition n'etait pas remplie. 



