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SUR LES FONCTIONS Im A GIN AIRES'. 15 



L' equation (19) n'est autre chose que la formule de Taylor etendue 

 aux fonctions imaginaires et avec une formule (analogue a celle qu'a donnee 

 Lagrange dans lc cas des fonctions reelles) du reste de la serie arretee a 

 un certain terme. 



§ 5. 



Vraie valeur des expressions qui se presentent sous la forme - . 



13. Soit a une quantite donnee, reelle on imaginaire, et proposons- 

 nous de trouver la valeur que prend pour z = a V expression 



m 



les fonctions Y{z) et f(z) etant telles qu'on a a la fois 



(20) F(a) = , f(a) = 0. 



Nous supposons les fonctions continues pour z = a et donees de derivees. 

 D'abord nous supposerons aussi que f'(a) ne soit pas zero. Alors on a 



lhnS) = lim F< >"+ A ''> 

 z-a f(z) /\a = Q f[a + A «) 



ou, en vertu de (20), 



F{a+ Ag) — F{n) 

 lim — ^ = lira ^ a — ^ ^ 



;=a f(z) A a = o f(a+Aa) — f(a) f'{a) 



c'est-a-dire 



(21) lim -fl= Km . 



z = a fif) z = a f {/) 



Cette formule est done demontree dans la supposition que f'[a) ne soit 

 pas zero. 



Procedons maintenant au cas general et supposons les fonctions F(z) 

 et f(z), ainsi que leurs derivees jusqu'a cellcs de l'ordre « i; ' mc , continues au 

 point z — a et en chaque point intcrieur a un contour ferine, si petit 

 qu'on veuille, decrit autour du point z = a. Supposons de plus qu'on ait 

 a la fois 



