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M. Fa Lie, 



I F(a) = F'(a) = . . . = F^Ha) = , 



(22) 



I $j =r<«) = ... = /*-"(«) =o, 



raais que /^"(rt) ne soit pas zero. 

 En posant 



a — a-\- fti , Art = ^ + > 



et en supposant A et /: suffisamment petites en valeur absolue pour que 

 le point (x + h, y + Z) soit aussi interieur an petit contour, la formule 

 (19), apres y avoir rcmplacc n par w — 1, sera applicable a chacune des 

 fonctions F{z) et f{z) pour s = a et Ag=Aa } quelle que soit la valeur 

 du rapport dc li a /r, e'est-a-dire quelle que soit la direction de la ligno 

 joignant lc point (a. ft) an point {a + ^ /? + />■) ■ 



Supposant la fonction f(#) definie par l'equation 



f[ z ) = ri (. r , y) + i%(x, y) , 



et observant que les equations (22) reduisent les devcloppements par la 

 formule (19) des fonctions F(a-\- A a) et f(a + A a) aux seules expressions 

 des restes, nous aurons 



F(a + Ad) = i (ftl + *^) ( %(« + **» /? + + + AS, /9 + tf)3 , 



(0 < & < 1 , < A < 1 , < 0, < 1 , < A, < 1) . 



Posons maintenant dans ces equations 



h = fip , k = up ; 



done h et h s'annulleront a la fois, si Ton fait tendre p vers zero, quelles 

 que soient les valeurs des quantites rcelles p. et v. 



L'equation (13) nous montre que cette substitution red uit 1' expression 



par consequent, les equations precedences deviendront 



