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M. Falk, 



Nous n'avons pas besoin d'entrer ici sur la question, si une fonction 

 qui a les proprietes que nous avons supposees dans ce memoire pourra 

 avoir des infinis dont l'exposant n'est pas entier. Cette supposition etant 

 indispensable dans 1' analyse que nous ferons dans la suite, nous n'entreroris 

 pas dans ce sujet. Cette question est d'ailleurs discutee dans la plupart des 

 Traites sur les fonctions imaginaires. 



15. De ce que nous venons de dire, il suit comme caractdre d'un 

 infini du m i6me ordre de F(z) que la fonction 



(z - a) m F(z) 



sera continue dans Vinterieur d'un petit contour decrit autour du point z = a 

 ct (jii'a la meme fois cette expression aura pour z = a une seule valeur limits 

 ftnie et differente de zero. 



1 6. De l'equation 



F(z) = {z — a)- m <f(z) 

 on obtient par r differentiations successives 



= S(— l)*(f)*«(m +!)••• + * 



Multipliant par (z ■ — a)"' +r , nous en obtiendrons 



(25) (* — af^\z) = g (_l)*( r ), W (m+l) . . . ( m +k-l)(*— a)^y^) . 



Comme (z — a)~ m ~~ h est continue dans toute l'etendue du plan, a l'exception 

 du point z — a. seul, 1' expression de F v '\z) nous montre que cette derivee 

 est continue taut que les fonctions p(z), <p'(z\, . . . , <f (v \z) existent et sont 

 elles-memes continues. Dans cette supposition a l'egard de <f(z) et de ses 

 derivees, l'equation (25) nous montre que F°'\z) est continue dans Vinterieur 

 d'un petit contour decrit autour du point z = a, mais que cette derivee a un 

 infini de X ordre (n + r) l4me au point z = a meme. 



En eff'et, l'equation (25) donne, en passant a la limite pour z = a, 

 lim [(z — a)'"+ r F'Xz)~\ = (— \) r m(m + 1) . . . (m + r— \)<p{a). 



z = a 



'In r,\' n i 



