Sun les Fonctions Imaginaires. 



21 



et si les fonctions <f(z), cr'(z),..., p (m) (z) sont continues dans I'interieur cl'un 



petit contour decrit autour du point z -— a, f(z), ta /'auction reciproque de F($), 



et ses derivees f(z), f"(z), . . ., seront aussi continues dans I'interieur du 

 mime contour. 



An contraire, si Ton a 



c'est-a-dire, si F{z) pour z — b est infiniment petit clu n"' mc ordre (n etant 

 entier), la fonction reciproque f(z) aura dans ce point un inlini du n u ' me 

 ordre, et la nature de ses derivees dans ce point sera alors decidee par ce 

 que nous avons dit an numero 16, c'est-a-dire que ces derivees seront toutes 

 infinies dans le point z = b. 



La fonction F(g), ayant, comme nous venons de le voir, dans chaque 

 point interieur au contour decrit autour du point z = a, a l'exception de 

 ce point meme, une valeur unique et linie, est, selon les denominations de 

 MM. Briot et Bouquet, monotrope a I'interieur du contour, a l'exception du 

 point meme. Ayant de plus dans chacuri de ces memes points une derivee, 

 elle y est aussi liolomorpihe. Le point d'infini z = a en est un pole, et la 



fonction reciproque ffy — —— demeurant holomorphe dans les points in- 



terieurs au contour [aussi dans le pole meme], la fonction F(z) est mero- 

 morplxe a I'interieur du contour. 



Chap. II. 



INTRODUCTION AU CALCUL DES 11ESIDUS. APPLICATION AU 

 DEYELOPPEMENT I)'U.NE FONCTION EN SERIJ^. 



§ ?■ 



Methode de faire disparaitre d'une fonction la partie qui devient 



infinie dans un point donne. 



20. Apres cette courte exposition de quelques theoremes sur les 

 fonctions imaginaires r dont il nous faut faire usage dans la suite, nous 

 passerons maintenant a l'important probleme de rendre holomorphe en un 



