28 M. Falk, 



(49) U [m) = <p (m \z) , 



qui est consequence immediate de l'equation (46) , 



r a 



e> {m) (a) 1 / d m 



Posant 



(51) F=*&(— l^r^m + 1) . . . (m + ft — 1 )"(* — a) r ~ k U°"~ lc) 



i=0 



l'equation (48) nous donne 



?pw(a)= lira 7 



on, d'apres la methode du numero 13, 



(52) r->(a)= lira 



+ r )( m + — a)' 



pourvu qu'on demontre que les fonctions V, V, V", . . . V ' s'annuleront 

 toutes pour z = a. Gomme cela resultera immediatement de l'equation (51) 

 et des expressions qu'on en deduit des derivees de V, il suffira d'exposer 

 ces formules. 



En dift'erentiant l'equation (51) on obtient 



V'="$\- \)\r) h m{m + 1) . . . (<* + k- l)(r — *J (z-a)^ U*~*> + 



i'l = 



+ S(— 1)*M*»»(»» +!)■•• (»» + k—\){z — ay- k TJ^*+» . 



k = Q 



Dans la premiere somme du second membre de cette equation nous avons 

 rejete le terme resultant de la supposition ft. = r, ce qui est evidemment 

 permis, puisque ce terme est identiquement nul. Faisant maintenant dans 

 cette meme somme K\ = ft — 1 , on pourra y ajouter le terme qu'on obtient 

 en supposant k — , pourvu qu'on suppose 



(r)-x = . 



Maintenant reduisant les deux sommes a une seule, en faisant usage de la 

 formule evidente 



(r) t (m + ft - 1) — (r) M (r — ft + 1) = (m - 1 ) (>-), , 



nous aurons 



