Sue les Fonctions Imaginaires. 



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V = S (— \)\r) k {m— l)m(m + 1) . . . (m + A: — 2) (z — a) 0-- *' £J ( ' ,+1 -' ! ' ) . 



i=0 



Par la differentiation de cette equation et par des reductions analogues, 

 nous obtiendrons sans difficulte 



V" = g (— \)\r) k {m — 2) (m — 1) . . . (m + * — 3) (a — a)'*-*' ^("+ 2 -« . 

 Ces formules sont deux eas speciaux de I'equation 



(53) V (r) = h ^-\)\r)lm— p)(m— p + 1) . . . { m + k—p—l)(z—af'-^U^- k> , 



i=0 



laquelle se demontre sans difficulte en passant de p a p -f- 1 • 



Comme le terme correspondant a /»; = a pour coefficient l'unite 

 dans toutes ces equations, on obtient de (53) en faisant p — m 



(54) V (m) = (z — a) r U im+r) , 



puisque les coefficients des autres termes de la somme deviennent tous nuls. 



Maintenant supposant les derivees de <p continues pour z = a, les 

 derivees correspondautes de U le seront aussi, puisqu'on a d'apres I'equa- 

 tion (53) 



Done V {m) sera continue pour z — a et, par consequent, on conclura des 

 equations (52) et (54) 



( 21 = a 

 7m +r 



55 | v ' = y - M = / — — Uu — a) m . F(uj\ 



\ / , r m + r m + r / au 



Les formules (50) et (55) demontrent que ¥(a) et W (r) (a) auront des valeurs 

 finies et determ'mees, si la fonction <f(z) et ses derivees jusqu'a cede d'ordre 

 (m + r) i6me sont continues pour z — a. 



§ 8. 



Remarque sur le developpement d'une fonction en serie indefinie 

 d'apres la formule de Taylor. 



24. Q.uand on ne s'appuie pas sur le theoreme fameux, du a Cauchy, 

 de la possibility de developper une fonction en serie indefinie, on est oblige 

 de s'assurer que les fonctions <p et f et toutes leurs derivees partielles sont 



