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M. Falk, 



continues dans tous les points de la ligne droite joignant le point (x, y) 

 au point (x + Ji, y + k) [aussi clans ces points extremes memes] et de plus 

 que les restes des series ont pour limite zero pour n = oo , si Ton veut 

 faire tendre n vers l'infini dans les deux premieres equations du numero 12. 

 Mais si ces conditions sont remplies, les series obtenues seront necessaire- 

 merit convergentes et representeront les fonctions p(x -f- h, y + 7c) et 

 f(x + V + k). A ces memes conditions on pourra done aussi faire tendre 

 n vers Tinfini dans Tequation (19), ce qui donne 



. (56) F(z + A,) = F (z) + ^F(z) + + ..... 



Cette serie sera convergente et representera F(z + ^z), si F(z) et toutes ses 

 derivees sont continues dans tous les points de la droite dont les extremites 

 sont les points determines par z et z -\- &z et que de plus on ait 



Km B = , 



11 = oo * 



le reste B etant, conime au numero 12, donne par l'equation 



(57) B = -4-r(^ + k *X + ijp (* + #*, y + + + , y + . 



Des equations (56) et (57) on obtiendra, comme a l'ordinaire, la formule 

 de Maclaurin etendue aux fonctions imaginaires, en posant z = et en 

 remplaeant ensuite A^ par z. 



25. Si la fonction F{z) a pour z = un infini de l'ordre m ikme , elle 

 ne peut nulleinent etre developpce en serie indefinie par la formule de 

 Maclaurin. Mais si Ton en chasse ce pole a Taide de la methode du nu- 

 mero 20 et qu'on obtienne par cela une fonction ¥(%) qui, ainsi que toutes 

 ses derivees, est continue dans tous les points de la droite allant du point 

 z — au point determine par la valeur de z qui doit entrer dans le de- 

 veloppement, et qu'enfin le reste B ait pour limite zero, on pourra appliquer 

 la formule de Maclaurin a la fonction W(z), ce qui donne 



(58) 9(e) = ?pr(0) + \ F (0) + ^ ?' ' (0) + . . . . 



Maintenant le pole de la fonction F(z) etant a l'origine, on devra faire 

 «=0 dans les formules (24), (39), (50) et (55). On obtient par cela 



