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R. Hoppe, 



II est digne de remarque, que ce probleme nous conduira a une voie 

 tout a fait differente de 1'ordmaire pour faire voir la precise etendue des 

 resultats. En effet, si Ton voulait baser les deductions sur les conditions 

 determinees, dont elles dependent en generalite complete, on perdrait l'unit6 

 et la clarte de l'idee par la distinction des cas, ou ces conditions sont dif- 

 ferentes, et les resultats seraient fort difficiles a s'en servir. Pour eviter cet 

 inconvenient il nous vient a propos la nature singuliere de l'objet. Car ici 

 il est possible d'ecarter 1'influence de toutes les fonctions arbitraires et de 

 reduire la question a la consideration de certaines fonctions speciales. 



Avant passer a notre theme je vais etablir quelques denominations et 

 designations et demontrer quelques lemmes, dont il y aura a faire usage 

 ensuite. 



Je d6signe par h un nombre entier variable independant, par a> une 

 valeur de k infiniment grande, par a k , v k etc. des fonctions de h toujours 

 positives. 



L'equation u 0) = c signifie, que u ut converge vers la limite c. 



L'egalite de deux fonctions de u signifie, que leur rapport converge 

 vers 1' unite. 







Je dis que v u s'evanouit aupres de u 0j , si 



U m Ar V oj = U w OU = 0. 



Nous nous occuperons de quantites de la forme 



i' = UJ 



s M = 2 w * ? 



ou u t est toujours le terme general d'une serie divergente. La limite in- 

 ferieure pcut rester indeterminee en tant qu'elle n'influe point sur la va- 

 leur infiniment grande de la somme. Nous la supposons constante, positive 

 et assez grande pour que la fonction u k conserve sa nature par tout l'inter- 

 valle des h II sera done tout a fait indifferent, si un nombre de termes 

 initiaux ne satisfait pas aux conditions exposees en general. 



Lemme I er . La quantite S (u w ) est compUtement determine'e par la 

 valeur de u m . 



Demonstration. Soit 



