SUR LES SOMMES DES SERIES DIVERGENTES. 3 



Lorsqu'on fait croitre successivement le nombre U u croit (depuis 

 zero) a l'infini; il y a done toujours une valeur telle que pour assez graudes 

 valeurs de n 



Vu<yu n< u, +x . 



Le nombre n croissant a l'infini, ju. devient une fonction de n infiniment 

 grande et telle que U fl s'evanouit aupres de U n , e'est a dire qu'on a 



U n = U-U.Jfu. 



Soit maintenant 



V» = Pi »t > Pi- 



le 



k = H + 1 



k = n 



1 1 Vn V k 1 



on aura 



k ~ n k = n 



* = 11 + 1 t : = .« + 1 



ou M designe une valeur moyenne de p k entre les limites de la serie, va- 

 leur qui devient = 1, paree que ces limites sont infiniment grandes. II est 

 done, pour n = oo, 



v n -v, = u n -u, = u n . 



Or la fonction p k ne peut pas surmonter quelque limite constante, lorsque 

 k croit jusqu'a / u.; par consequent Vp est oblige a s'evanouir aupres de U n 

 en meme temps que Z7„, et on trouve que V„ est = U„, ou bien 



£ (V w ) = S (Uoj) 



sous la seule condition 



Vifj — My) 



Posons de plus 



quantites dont on deduit facilement la valeur de S (u 0J ). 



Je dis que la s6rie u k diverge plus fort que la serie v k , si le rapport 



D 



— decroit perpetuellement a compter de quelque valeur de k, et s'evanouit 

 u k 



pour k - oo. 



