4 R. Hoppe, 



LEMME II. — Si Von substitue a une serie u k une autre serie plus 

 fort divergente, la valeur de P (u 0J ) se diminue ou reste la meme. 



Demonstration. Si la serie v k est plus fort divergente que la serie 

 u k , on a pour k < n 



ou bien 



par consequent 



Vk ^k 



v„ u~ 



~ 2 V * < ~~ ^ U n 

 V„ — U 



En faisant croitre n a l'infini, on trouve ce qui a ete propose. 



LEMME III. — Si la fonction f(x) et sa derive'e f'(x) sont continu- 

 elles et varient sans cesse en meme sens; si en outre elles satisfont aux conditions 



/(*>) = oo ; Ji~ = 0;il est S (f't„)) = /(«). 



Demonstration. D'apres le theoreme de Taylor 



/(k-l)-f(k) 



a tou jours une valeur moyenne entre 



-/'(*) et -f(lc -I). 



Done il n'y a que ces deux cas ci: 



f(k)>f{k) -f(k-l)>f 



f\k) <f(k) -f(k - 1) < f (k - 1) , 



ce qui, en soustrayant le premier membre, peut etre ecrit: 



< ± {/(* - 1) -/(*) +/'(*)) < ± {/' (h) -f (k - 1)} 



ou les doubles signes sont en relation et les memes pour tout k. En pre- 

 nant la somme depuis k = m -\- 1 nombre constant jusqu'a k = co, on obtient 



k= on 



0<±W»— /W+2 f'm<±{f{»)-f\rn)} , 



k — m +1 



