SUR LES SOMMES DES SERIES DIVERGENTES. 5 



et en divisant par f(u>) 

 Equation identique a la these. 



Serie geome'trique et series qui divergent encore plus fort. 

 En designant par c une constante positive, on a 



* = " J 1 e ~c<» 1 



P ( e e ">) = e~ cw y e ck = , -— — ' 



k = l 



Maintenant, si u k est le terme general positif d'une serie plus fort 

 divergente que la serie e ck , quelque soit c, il est en premier evident, que 

 P (u w ) ne peut pas etre < 1, d'apres la definition. En outre on sait par le 

 lemme II, que la meme quantite ne peut pas etre > P (e CVJ ), quel que soit c. 

 La valeur exposee de la derniere quantite representant toute quantite > 1, 

 il suit, que 1 est la valeur precise. On a done 



P (u 0J ) = 1 



p our toutes series u k plus fort divergentes que routes les series georaetriques. 



Le second cas a consiclerer est celui d'une serie contenue, quant au 

 degre de sa divergence, entre deux series geometriques. Supposons que la 

 serie u k diverge plus fort que ^ c -°>* et moins fort que e {c + a l \ quelleque 

 soit la quantite positive „a". D'apres le lemme II P (u 0J ) ne pourra etre 



1 . 1 



par consequent on a 



P (u 0J ) 



et le rapport a la serie e ck n'entre point en question. 



Si en dernier lieu une s6rie u k diverge moins fort que toutes les 

 series geometriques, il est clair que P («„) n'a aucune valeur constante ; car 

 il faudrait que cette valeur fut 



