SlJR LES SOMMES DES SERIES DIVERGENTES. 



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est d'abord infinimcnt grand jusqu'a une Hmite determinee, et devient mil 

 aussitot que cette limite est surmontee. C'est la valeur de „a" repondante 

 a ce changement soudain qu'il faut introduire dans l'equation 



P (w w ) = — l oo lx oo . . . l n oo ( 2 ) 



pour lui satisfaire. II ne differe rien, si le dit rapport est, a l'instant du 

 changement, nul ou infiniment grand ou fini. Done tons facteurs de u 0J , dont 

 toutes les puissances s'eVanouissent aupres de l n w, n'influent point sur la 

 valeur de P (u u ). 



Si par exemple la serie log k est donnee, on voit, que log oo est 

 contenu entre des valeurs de oo a ~ l , et le rapport 



log oo 



devient nul aussitot que „a" devient > 1 ; par consequent on a 



P Gog &>) = «> , 



et il appert que la fonction log oo ne contribue rien au r^sultat et aurait pu 

 etre remplacee par 1. 



Si, au contraire, la serie u t est contenue entre les series 



Iq Jc 1c . • • X n I/q Jc Zj 1c • ■ • l> n 1 1c 



pour toutes les valeurs positives de „«" et de b, il s'ensuit du lemme II, que 

 P [U 0J ) n'est jamais de la forme (2), mais qu'il est 



p M = . p t<Q =oo> 



/ 00 l ! 00 . . . l u O0 ' I 60 l t 60 . . . l n _ 1 6d 



Le cas est analogue, ou la serie donnee diverge plus fort que toutes 

 les series de la forme k a ~ 1 , mais moins fort que toutes les series geom6- 

 triques. Alors P (ii w ) est infiniment grand, mais s'evanouit aupres de oo. 



En examinant ces cas, qui se presenteut rarement, on est conduit a 

 une suite illimitee de differentes formes, dont chacune remplit incompletement 

 le vide, qui reste dans la precedente, et auxquelles repondent des solutions 

 differentes. II suffira d'exposer le commencement de ce progres infini, qu'il 

 faudrait executer pour epuiser tous les cas possibles. 



