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R. HOPPE, SUR LES SOMMES DES SERIES DIVERGENTES. 



On voit a la fois, que les quantites P, qui dependent ici de la fonc- 

 tion <p, cessent d'avoir des valeurs indepenclantes de fonctions arbitrages, 

 qui viennent a entrer dans le terme general, aussitot qu'on quitte la forme (3). 

 Si Ton voulait, en poursuivant un pas de plus la voie decrite, examiner les 

 series, qui sont entre 



e c(l„k)« e c(ln+lk) b 



. e t 



\kljc . . . l n _ x k l klyk . . . l„k 



on trouverait, qu'aussi les Q commencent a etre affectes des fonctions arbi- 

 traires, aussitot que la serie change de forme, et qu'il faudrait, pour eliminer 

 ces fonctions, introduire de nouvelles quantites au lieu des Q, moins sensi- 

 bles de variations dans le terme general de la serie. 



Pour deduire de la quantite independante Q (v 0J ) la valeur cherehee 

 de la somme S{u (u ), on a 



log (vojQ(v w )) — log S (v w ) + log log S (voj) — log S (v w ) 



par consequent 



6 [Voj) logS (v.) - log (v u Q{v w) ) ' 



La theorie precedente n'est pas fondee sur la notion generate des 

 fonctions, mais elle se joint a leur formation selon les operations algebriques. 

 En effet, regarde du premier point de vue, elle ne serait applicable que sous 

 de grandes restrictions. Mais lorsqu'on n'a en vue que des fonctions de 

 formation definie, toutes les conditions qu'il faut admettre se trouvent rem- 

 plies en general, et chaque cas de contraire, c'est a dire, ou une fonction 

 varie perpetuellement en sens alternatif, est reconnaissable par un element 

 periodique. 



