— 48 - 



heureusement plusieurs feuillets contenant une partie du commen- 

 taire sur les définitions, les postulats et les axiomes du premier 

 livre, partie qui est empruntée à une introduction aux Éléments 

 due à Simplicius, le célèbre commentateur d'Aristote. Gomme le 

 remarque M. P. Tannery, la traduction de Gérard de Crémone 

 comble de la manière la plus heureuse la lacune du texte 

 arabe et nous fait connaître les idées de Simplicius sur les bases 

 de la géométrie. 



C'est précisément sur cette partie du commentaire d'Anaritius 

 que nous croyons utile de faire quelques remarques. 



2. Sur les postulats. D'après Anarithis, ou plutôt d'après Simpli- 

 cius, les postulats sont intermédiaires entre les axiomes et les 

 propositions à démontrer. Le maître les connaît, le disciple ne les 

 connaît pas, mais les admet quand on les lui propose en vue de 

 démontrer une proposition. 



Il dit qu'il n'y a que cinq postulats, mais après le cinquième, il 

 cite le sixième tel qu'il se trouve dans les meilleurs manuscrits 

 d'Euclide : Deux droites ne peuvent enclore un espace, et il ajoute : 

 Cette demande ne se trouve pas dans les écrits anciens ; elle a été 

 mise de côté parce qu'elle est manifeste; c'est pourquoi on dit 

 qu'il y a cinq postulats. 



Sur le célèbre cinquième postulat, Simplicius dit qu'il n'est pas 

 très évident : c'est pourquoi il est nécessaire de l'expliquer sur des 

 lignes (c'est-à-dire de le démontrer), ce qui a été fait par Abthianus 

 et Diodorus sur des figures nombreuses et diverses; Anaritius dit 

 qu'il exposera ce qu'Aganis a ajouté à ce sujet à propos de la 

 proposition 29. Arrivé à cet endroit, Simplicius répète que le 

 cinquième postulat n'est pas très évident, qu'on doit l'expliquer 

 sur des lignes, etc. ; que Ptolémée a aussi donné une preuve de ce 

 postulat, mais qu'elle n'a pas paru satisfaisante à son compagnon 

 Aganis. Suit une démonstration du postulat par cet Aganis que 

 M. Curtze identifie avec Geminus ; M. P. Tannery ne croit pas 

 l'identification admissible, parce que l'on ne peut pas dire que 

 Geminus soit le compagnon de Simplicius. 



Voici l'esquisse de cette démonstration. Définition: Deux droites 

 sont équidistantes ou parallèles si elles sont partout également 

 éloignées. Théorèmes : 1. La plus courte distance de deux paral- 

 lèles est perpendiculaire à l'une et à l'autre, car sans cela elle ne 



