serait pas plus courte qu'une perpendiculaire abaissée d'un point 

 de l'une sur l'autre. 2. Deux perpendiculaires (m, n) à une même 

 droite^ sont parallèles; car la parallèle à m menée par le point 

 est perpendiculaire à p et se confond avec n. 3. Une sécante q 

 fait avec deux parallèles m, n, deux angles dont la somme est 

 égale à deux droits. Menez, en effet, par le point (m, q), r perpen- 

 diculaire à n, par le point (n, q), s perpendiculaire à m, r sera 

 parallèle à «s et m, n, r, s, formeront un rectangle divisé par q en 

 deux triangles égaux. 4. Réciproque (démonstration par l'absurde). 

 5. Construction du point de rencontre de deux droites faisant avec 

 une sécante deux angles dont la somme est inférieure à deux 

 droits. 



A la fin, Simplicius fait encore la remarque suivante : Cette 

 assertion, deux lignes qui ne sont pas parallèles se rencontrent, 

 ayant besoin d'explication d'autant plus que dans les sections du 

 cône, il y a des lignes non équidistantes qui ne se rencontrent 

 pas, Aganis a repoussé cette proposition considérée comme 

 postulat et a donné les explications (démonstrations) précé- 

 dentes. 



La démonstration d' Aganis repose évidemment sur un postulat 

 inconscient : il y a des droites équidistantes. Mais ce long essai 

 de démonstration qui occupe huit pages du texte, prouve que 

 Simplicius, Anaritius, Gérard de Crémone, et le mystérieux 

 Aganis lui-même, comme Ptolémée, Proclus, Nassir-Eddin, 

 Clavius, Wallis, Saccheri, Lambert, Legendre et tant d'autres 

 géomètres modernes, ne trouvaient pas le cinquième postulat 

 d'Euclide évident au point de vue rationnel, puisqu'ils essayaient 

 de le démontrer. 



M. Ch.-J. de la Vallée Poussin expose les remarques suivantes 

 Sur la surface de révolution minimum : 



On traite, dans beaucoup d'ouvrages classiques, le problème 

 suivant : Étant donnés deux points A et B et un axe OX dans un 

 plan, ineta r par ces deux points ht courbe, qui, en tournant autour 

 de cet axe, engendre la surface de révolution minimum. 



On prouve bien que la courbe cherchée doit être une chaînette 

 ayant l'axe de révolution pour base, mais on se contente, après 

 cela, de dire qu'elle est déterminée parla condition de passer par 

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