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l'appeler, la méthode d'Abel. Elle consiste à étudier d'abord les 

 fonctions elliptiques sin am u = \u, cos am u — |Liw, A am u — vw, 

 dans le cas où le module k 2 est positif et inférieur à l'unité, suc- 

 cessivement pour u réel, pour u purement imaginaire et enfin 

 pour u complexe; on se sert d'ailleurs du théorème de l'addition 

 lui-même pour définir les fonctions elliptiques de u => a + pi. 

 Quelques théorèmes empruntés à la théorie générale des fonc- 

 tions, des séries et des produits infinis donnent ensuite les expres- 

 sions de X, ju, v au moyen des fonctions thêta. Pour étendre après 

 cela la théorie au cas où le module est quelconque, il suffit de 

 remarquer que les propriétés des fonctions elliptiques, traduites 

 en théorèmes relatifs aux fonctions thêta, subsistent même quand 

 le module dont dépendent toutes ces fonctions est quelconque. La 

 théorie des fonctions pu, lu, au de Weierstrass se greffe aisément 

 sur cette exposition de la théorie des anciennes fonctions ellip- 

 tiques de Jacobi et d'Abel, soit après l'achèvement de celle-ci, 

 soit, ce qui semble préférable, comme théorie concomitante. 



2. Autre procédé d'exposition historique. Si, faute de temps, l'on 

 ne peut pas recourir à la théorie générale des fonctions ni à celles 

 des fonctions thêta, on peut néanmoins exposer la théorie des 

 fonctions \u, juw, vu (et même des fonctions de Weierstrass), dans 

 le cas où le module n'est pas positif et inférieur à l'unité, par le 

 procédé relativement élémentaire d'Abel : étude de ces fonctions 

 pour u réel, puis pour u purement imaginaire, enfin pour u de la 

 forme a + p*. 



Dans le cas où k 2 est complexe, le mode d'exposition est 

 entièrement analogue à celui où k 2 est positif et inférieur à l'unité, 

 pourvu que l'on s'appuie sur un théorème que nous avons 

 démontré dans les Annales de la Société scientifique, t. XXII, 

 1898, 1" partie, pp. 90-91 (*). 



Mais on rencontre quelques difficultés lorsque l'on emploie ce 

 mode d'exposition dans les deux cas, plus simples en apparence, 

 où k 2 est positif et plus grand que l'unité, ou bien négatif. Dans 



placerait la considération du carré du module par celle de son complément et la 

 démonstration se ferait comme dans l'autre cas. 



