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la définition des constantes fondamentales K et K7, il se présente 

 quelques ambiguïtés de signe qu'il est assez pénible de lever. Dès 

 lors, il est préférable de ne pas traiter ces cas directement et de 

 les ramener à celui où le module k 2 est positif et inférieur à 

 l'unité, comme Legendre le faisait dans l'étude de la première 

 intégrale elliptique, quand k 2 était négatif, ou positif, mais supé- 

 rieur à l'unité. Cette marche est, par suite, encore plus historique 

 que la précédente. L'objet de cette note est d'esquisser la réduc- 

 tion dont nous venons de parler. 



3. Cas où k 2 = p, < l 2 < 1. On a alors 



si l 2 + l' 2 = 1. On prend k' = — Dans la relation 



on fait kz = u, ou z = lu et si 



ç u du 



p = J \/ï^\/r^' 



l'on trouve immédiatement 



a = X(a, k) = ZX(fî, 0, u(a, k) = v (p, l), v (a, k) - u (P, 0- 



Les trois fonctions X (a, k), u (a, k), v (a, A;) vérifient les relations 

 fondamentales 



X* + H*=l, W + v-— 1, ^ = MV (1) 



ainsi que les formules de l'addition. Si l'on pose, suivant l'usage, 



K = r 1 dx = r 1 (fa 



