avec BC ; donc un côté du triangle de référence a pour transver- 

 sale réciproque une droite quelconque menée par le sommet opposé. 

 Pour cette raison, on dit que BC, GA, AB sont les droites princi- 

 pales de la transformation (t v Q. Les droites B'C, C'A', A'B' et la 

 droite de l'infini, qui sont leurs propres transformées, sont des 

 lignes doubles. 



Supposons que la droite t l tourne autour d'un point fixe P, et 

 soient P a , P b , P c les points de rencontre de AP, BP, CP avec 

 BC, CA, AB. Les points A v B v C t engendrent des ponctuelles 

 perspectives; il en résulte que les points A 2 , B 2 , C 2 se corres- 

 pondent dans trois ponctuelles projectives (A 2 ), (B 2 ), (C 2 ). Par 

 conséquent, la droite t 2 enveloppe une conique tt qui touche les 

 supports de ces ponctuelles. Le point où tt touche BC est le point 

 de la ponctuelle (A 2 ) qui correspond au point C considéré comme 

 élément de la ponctuelle (B 2 ). Or, lorsque B s coïncide avec C, B l se 

 confond avec A et t v avec AP ; A t passe alors en P , et A 2 

 devient l'isotomique P^, de P a . 



Ainsi, la transformée par transversales réciproques d'un point P 

 est une conique tt, qui touche les côtes du triangle de référence aux 

 isotomiques P' a , P[, P c des points P a , P b , P e où ces côtés sont 

 rencontrés par les droites AP, BP, CP. 



Les droites AP;, BP;, CP; concourent en un point P', appelé 

 le réciproque de P et aussi le point de Gergonne de la conique tt. 

 Par conséquent, toute conique inscrite au triangle ABC est l'enve- 

 loppe de la transversale réciproque d'une droite pivotant autour du 

 réciproque du point de Gergonne de la conique. 



On peut prendre pour les parallèles menées par P aux côtés 

 du triangle ABC; les transversales réciproques de ces droites sont 

 des parallèles aux mêmes côtés. Connaissant ainsi trois couples de 

 tangentes parallèles, on détermine aisément le centre de tt. 



3. Si le point P se transporte à l'infini, la droite t l se déplace 

 parallèlement à elle-même, et les ponctuelles (A,), (B 2 ), (C 2 ) 

 deviennent semblables. On en conclut que la droite * 2 enveloppe 

 une parabole inscrite au triangle ABC. Le point de Gergonne P', 

 réciproque d'un point à l'infini, est situé sur la seconde ellipse de 

 Steiner (qui touche BC, CA, AB en A', B', C). 



On peut démontrer ce résultat autrement. En effet, la droite de 

 l'infini est une position de t x et coïncide avec sa réciproque. En 



