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Les seconds membres des formules (8) ne renferment que des 

 angles parfaitement déterminés, et sont par conséquent inva- 

 riables. Il faut donc que les premiers membres ne changent pas 

 si l'on y remplace successivement (A, A) par (b, a) et par (— b, 

 a±2 droits). Cette vérification pourrait ne pas avoir lieu si on 

 avait fait Tune ou l'autre erreur dans les calculs qui ont conduit 

 aux formules (7). 



Si les formules (8) renfermaient par exemple la colatitude géné- 

 rale O au lieu de la colatitude restreinte q>, les premiers membres 

 changeraient de valeur en passant de cp à — cp et il en résulterait 

 évidemment que l'on aurait commis l'une ou l'autre erreur. 



5° DÉVELOPPEMENTS DES FORMULES (8) ET (6) EN SÉRIES 



Les formules (8) sont au nombre de trois. Mais en les élevant au 

 carré et en les additionnant ensuite membre à membre on obtient 

 l'identité 1 = 1. L'une des trois formules est donc la conséquence 

 des deux autres et on ne peut considérer comme variables indé- 

 pendantes que deux des quantités que les formules renferment. 

 Si l'on attribue ce rôle à s et à q, on a 



")«-*+<ïi+ : ç(at<8.+-8()t 



les restes étant supposés négligeables. 



Pour obtenir s et q il suffit d'annuler les variables indépen- 

 dantes dans les formules (8). On trouve ainsi 



( sin A sin cp cos (s — A) + cos A cos cp = cos (q + e) 

 (10) sin A cos q> cos (s — A) — cos A sin q> = sin (q + e) 

 ( sin A sin (s — A) - 0. 



Gomme on n'a jamais sinA=0 dans les applications pratiques, 

 on conclut de la dernière formule que 



(H) 



(s - A) = 0. 



