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nel § 7 si dà lo sviluppo di una funzione analitica qualunque in serie sia 

 di P„ , sia di <r n e se ne trovano le condizioni di convergenza. 



« Le proposizioni di cui nella presente Nota, per i limiti ad essa im- 

 posti, si è potuto soltanto indicare la dimostrazione, senza svilupparla, ed 

 altre proprietà che si sono taciute, come p. es. lo studio delle equazioni 

 differenziali lineari (del tipo ipergeometrico generalizzato del Goursat) cui 

 soddisfano le P„ e le c„ , troveranno il loro sviluppo in una Memoria che 

 verrà fra breve alla luce sotto il titolo : Sopra una nuova estensione delle 

 funzioni sferiche. 



« 1. La forma binaria biquadratica a x A dalla cui radice quadrata di- 

 pende un campo ellittico, si può sostituire, come insegna il Weierstrass, 

 colla forma cubica 



4?/ 3 — g* y — g 3 , 



dove g 2 , g 3 sono gì' invarianti quadratico (ab) 4 e cubico (ab) 2 (bc) 2 (ca) 2 della 

 forma a^. Se ora si pone 



la forma cubica si "riduce senza scapito delle generalità, alla forma 



/= t z — 3tx + 1 = (t — e,) (t — e t ) (l — e 3 ) , 

 dove le radici e x , e 2 , e 3 sono scritte in ordine di modulo crescente 



| e, | .< | <? 2 1 <. | e z | . 



La x, che noi assumeremo come variabile complessa affatto indipendente, è 

 evidentemente un invariante assoluto (irrazionale) della a^ ; essa è legata 

 all' invariante J da 



(4^ 3 — 1) J = ^ 3 . 

 « Dalla forma dell'equazione /=0 è facile dedurre che per x abba- 

 stanza grande la radice e^ minima in valore assoluto tende a zero, mentre 

 le altre due crescono indefinitamente: si può anzi, presa la quantità s pic- 

 cola a piacere, trovare un numero positivo E tale che per ] x | >• R sia 

 | e 1 [<! « ■ Inoltre la radice e x è sviluppabile fuori di un cerchio di centro 0 



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 e di raggio -^-y2 in serie di potenze di — , di ordine — 1 cioè mcomm- 



ciante col termine in — • 



x 



« 2. Si consideri ora l' integrale 



(8) ^''^= \^Wf- ■ - 



Rendiconti. 1891, Yol. VII, 1° Sem. 



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