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Preso [ x | > R , è, secondo il § precedente, \e ì \<C^', per tali valori di x 

 e per |e^|^>f la Y(u,x) è funzione analitica regolare di ^ e di u , e svi- 

 luppabile in serie della forma 



(4) V(^) = £^-. 



dove la ó n è data appunto dalla (1). Risulta intanto da ciò il valore assin- 

 totico delle c„ (x) per n — oo; si può porre cioè, usando una notazione altre 

 Volte adoperata: 



(5) (x) ^ e l n (x) , 

 intendendo con ciò che le serie 



2a n a n (x) e 2a n e, n (se) 

 hanno il medesimo campo di convergenza. 



« Siccome ff soddisfa all'equazione lineare omogenea 



2 (f — dtx -j- 1) — 3 (f — x)\/] = Q, 



clt 



così con calcolo facile si deduce per Y(u , x) l'equazione lineare non omogenea : 



"W 2 



(6) 2 (u 3 — Sux -{-l)i r J r S(u 2 — x)Y = <t 0 u — <t l 



e sostituendo in questa lo sviluppo (4), si ottiene per i coefficienti a n l'equa- 

 zione ricorrente del terz'ordine 



(7) (2n -f 1) <r n+ì — Sx (2n — 1) <r„_, + 2 (n — 1) cr 5 ,_ 2 = 0 

 insieme all'equazione iniziale (per n=l) 



2 



(8) xg 0 — C2 = — y • 



L'equazione limite delle (7) è appunto f=0, e siccome, per un noto teo- 

 rema del Poincaré, il limite di tr„ +1 : <7 n per k = oo è una delle radici del- 

 l'equazione limite, esso non può essere per la (5) che la radice minima in 

 valore assoluto, cioè la e x . La c n (x) è dunque queir integrale dell'equazione 

 alle differenze 



(9) (2» + l)F — 3.r(2w — l)¥(n — 1) + 2(^ — l)F(w — 2) = 0 

 che in altre occasioni ho chiamato integrale distinto, e la (5) viene com- 

 pletata da 



(10) m p^M. ==él(a . h 



« 3. Pongasi nella espressione (1) della e n 



t — e^t'; 



si ottiene, ponendo nuovamente t in luogo di t' e con facili riduzioni 



c l t n rit 



(11) « n = » — 



) c ^_l,/, lV + 0 _i 



