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Qui si ha in tutto il campo d' integrazione, t < 1 , onde t 2 -j- £ ^ 2 ; si può 

 inoltre prendere R positivo ed abbastanza grande perchè sia (§ 1) per \x\ <C R 



\eS(t* + t)\< V , 



essendo rj una quantità positiva e minore dell'unità per tanto poco quanto 

 si vuole : sotto queste condizioni verrà : 



(12) 2.4.6...2r Cl J o 1: /73T 



Ora questa serie è convergente in egual grado per |^|>R; ne risulta, per 

 un noto teorema del Weierstrass, che si può ordinarla per le potenze di se, 



ed essendo e x una serie di potenze di — che incomincia col termine di 



x 



grado — 1 , si ha che a n sarà una serie di potenze di — il cui termine 



se 



iniziale è del grado — (n + 1). 



« 4. La proprietà ora trovata per le c n basta, insieme alla equazione 

 ricorrente (7) e alla condizione iniziale (8), ad individuare completamente 

 il sistema delle &„. Se infatti si assume come dato l'equazione (9) per »^>1, 

 e per n = 1 la 



(9') xF (0) - F(2) =.— 1 ; . 



se poi si sostituisce adP(n)una serie di potenze di —, dell'ordine — 



oc 



e a coefficienti arbitrari, si vede senza difficoltà che le equazioni (9) e (9') 

 determinano univocamente questi coefficienti, e laF(w) non differisce quindi 

 . dalla <r n . Delle particolarità che presentano questi sviluppi in serie si ragio- 

 nerà in altro lavoro : basti accennare per ora che la serie a n è della forma 



a„.i) _, a„.l , a n .2 . a„.v 



e che il rapporto di due coefficienti consecutivi a n ^ , # n ..v+i è una funzione 

 razionale dell' indice v. 



« In luogo di prendere per punto di partenza l'equazione ricorrente colla 

 condizione che la c n sia una serie dell'ordine — (n -f- 1), si possono pren- 

 dere come date le serie c 0 e g x . Ad esse si applichi l'algoritmo generaliz- 

 zato delle frazioni continue, il quale consiste nel determinare le quantità 

 ttn-, b n , b' n , c n in modo che sia 



a o + (b 0 + b' 0 os)<f a -\r c 0 ?i = s 2 , 

 «i °"o + (bi + b\x) o - ! -j- d s 2 = sì , 



Q>rSn— \~\~{p,\~ \~b n x) S n -f- C n $n+i — S;i-t-2 i 



