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dove s 2 , S3, ••• Sn+2 sono soggette alla sola condizione di essere serie di po- 

 tenze rispettivamente degli ordini — 2, — 3, ... — (n -j- 2). Il confronto col- 

 l'equazione (7) mostra immediatamente che deve essere 



2n , n 6^ + 3 ■ 



^ = 27+3' ^ = ^ = 2^+3' Cn = ° . 



e quindi che le s n non differiscono dalle a n . 



« Dalle proprietà dimostrate altrove per quest'algoritmo ( ! ) è noto che 

 > e»* sono legate da una relazione della forma 



<r„ = A„ -f B„ o- 0 -{- C„ (Ti , 



dove A„, B„, C„ sono polinomi razionali interi in x che soddisfano alla 

 stessa equazione ricorrente (9) delle a n , e che sono rispettivamente dei gradi ( 2 ) 



r — 2, r — ■ 1 , r — 1 se n = 2r — 1 , 

 r — 1 , r , r — 1 se n = 2r . 



« 5. Accanto ai polinomi A„, B n , C„ vi ha luogo ( 3 ) a considerare i 



minori P n , Q n , R n della matrice 



A M B„ C (l 



A fl +i Cjn-i I , 



notando di sfuggita la proprietà ( 4 ) delle frazioni di ugual denominatore 



1 ^ di rappresentare simultaneamente le due funzioni c 0 e <Ji colla mas- 



P)i Pn 



sima approssimazione compatibile coi gradi di P„,Q n ,R„. 

 « Noi ci occuperemo in ciò che segue delle sole 



Pn = B n 0,,-t-i — C (i B n+1 . 



« Intanto si vede che P„ è un polinomio di grado n in x ; di più, dal- 

 l'equazione ricorrente (9) cui soddisfano le B„ e le G„ si ricava, con un 

 calcolo elementare, l'equazione 



(2n + 3) P w+1 + 3 (2n +l) g P- 2 ^" 1 2) P„. 8 = 0 . 



Facendo ora la posizione 



n3 ì ì> — 2.4.6...2^ 



ij 3.5.7...(2«+l) 



si ottiene l'equazione ricorrente delle P n 



(14) 2 (» + 1) P n+1 — 3 (2,x + 1) xV n + (2« — 1) P n -2 — 0 , 



(') Saggio di una generalizzazione delle frazioni continue algebriche, § 6. 



(2) Ibid, § 10. 



(3) Ibid, § 18, 19. 



(*) Che verrà dimostrata nella menzionata Memoria di prossima pubblicazione negli 



Annali di Matematica., ..... ....... 



