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alla quale soddisfano pure le Q n , R n dedotte da Q„, R n con posizione ana- 

 loga alla (13). 



« Si trovano semplicemente per le P n i valori iniziali P_! = 0 , P 0 === 1 , 



P : = — j x, e da questi mediante la (14) si deducono tutte le altre P 2 , P 3 , ecc. 



« 6. Ma ai polinomi P„ si può dare un'altra origine, che li riavvicina ai 



i_ 



polinomi di Legendre. Se infatti si sviluppa la / 2 in serie di potenze in- 

 tere e positive di t, si vede subito che i coefficienti di questa serie soddi- 

 sfano alla relazione (14), che sono nulli per valori negativi dell'indice e 

 uguali ad 1 e — \x per i valori 0 ed 1 dell'indice. Ne segue che essi 

 non possono differire dalle l' n (x), e si ha 



(15) f* = 1 — = = 2>„ (x) l'\ 



« Da questo sviluppo risulta ancora che 



de) p »^i?b) 



poiché esso converge in un cerchio di centro t — 0 e di raggio uguale al 

 minimo modulo delle radici della f. 



« 7. Dalle equazioni ricorrenti (7) e (14) si ricava (') lo sviluppo di 



una funzione analitica data in serie di P n o di ó n , secondo che la funzione 



data è -regolare nell'intorno del punto 0, o del punto oo. A quest'effetto, si 



moltiplichi la (7) per P w _i(£) e si sommi a tutti i valori di n da n — 1 

 all' oo, tenuto conto della (8); si ottiene così: 



SxJ_ (2n + 1 ) <M» P„(£)=2P 0 + y o- lt (^)((2«-l)P Jt . 2 (^)+2(^+l)P n+1 (j)) 



11=0 ^ ' 



e ricordando la (14), e notando che P 0 = 1 , viene 



3x J_ (2n + 1) tf„ (x) P„ (i) -= 2 + 35 X (2» + 1) o n (x) P n (s) , 



11=0 "=o 



onde 



1 Q OO • 



(17) _±_ = § I (2n + 1 ) *„ (*) P» (*) • 



t^/ (3* u n=o 



In forza delle (5) e (16), la serie del secondo membro della (17) converge 

 in ugual grado sotto la condizione 



| e 1 (x) |< | e, (2) [ ; 



il teorema di Cauchy permette allora di sviluppare una funzione data f(x), 

 regolare nell'intorno di x = oo, in serie di <r n (x), ed una funzione data 

 fx(s), regolare nell'intorno di £ = 0, in serie di ¥ n (s). 



(!) Mediante un metodo indicato nella mia Nota : Sur le développement d'une fonction 

 analytiqiée en sèrie de polynómes, C. E. de l'Académie des sciences. T. CVII, p. 986, 1888. 



