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stanno in una notevole relazione colle superficie della classe Per stabilire 

 questa relazione indichiamo con x , y le coordinate di un punto mobile nel 

 piano espresso pei parametri u , v , che danno all'elemento lineare la for- 

 ma (10), e poniamo 





1 



Tu? 





>e 



~òv 









1 



~òx 





<? 



~òu 





(11) 7>v }y 



X 2 — i , T 2 — 



avremo le forinole 



Q 111 



DXi jXj 



(11*) 



7)% " 7>y 



7>X 2 „ 1>X 2 



— Xi , — — Xi 



« Sia ora P = (x , y) un punto qualunque del piano e P'= (x', y) il 

 centro di curvatura in P di quella curva v = cost. te che passa per P. Per 

 le coordinate x\ y di P' abbiamo evidentemente le formole 



x'= x -h qX 1 , y'= y -f ?Xj 



dalle quali calcolando l'espressione 



ds' 2 — dx' 2 -f- dij' 2 



osservando le (11), (11*), troviamo 



(12) ds' 2 = ( —Xdu 2 -+- q 2 dv 2 . 



~òu 



« I due sistemi ortogonali (u , v) che corrispondono alle due for- 

 me (10) (12) stanno fra loro in questa relazione, che le curve v = cost. te 

 nel 2° sono le evolute delle curve v = cost. te nel 1°, mentre le & = cost. te 

 nel 1° sono le evolute delle u = cost. te nel 2°. Tale singolare proprietà, come 

 facilmente si dimostra, è caratteristica pei sistemi doppi ortogonali di curve 

 piane che danno all'elemento lineare del piano la forma (10) o (12). 



« Prendiamo ora su ciascun segmento PP' un punto interno 0 che 

 divida questo segmento in un rapporto costante e fatto centro in 0 descriviamo 

 nel piano normale alla retta PP' il circolo di raggio eguale alla media pro- 

 porzionale fra i segmenti OP , OP'. Otteniamo così un sistema oo 2 di circoli 

 normali al piano xy ; questo sistema di circoli ammette una serie di super- 

 ficie ortogonali che sono altrettante superficie della classe <X> considerata nei 

 n. 1 precedenti. La dimostrazione di questa proprietà si ottiene agevolmente 

 applicando le formole generali contenute nel § I della mia Nota 2 a sui sistemi 



ciclici ( J ). Indicando infatti con \ q cos a la distanza del centro 0 del cir- 



(!) Giornale di matematiche, t. XXII. 



