— 11 — 



e quindi per la precedente 



7> / 1_ 7) f/G \ 7) / 1 7) |/E . 

 ~ì> u \ |/E / 7w \ |/q 7w 



■ 



cioè 



yi=^.r 1' K --, is.Y, 



•' * 7)ì& r 7>y ' 



dove TJ , V sono rispettivamente funzioni la prima di u , la seconda di v . 

 Cangiando convenientemente i parametri u , v possiamo prendere 



U = 1 , V = — 1 



e quindi ponendo 



1/E = ? 



avremo 



essendo o una soluzione della (6). Inversamente se p è una soluzione qua- 

 lunque della (6), l'elemento lineare 



appartiene al piano e le due espressioni 



? T | p sen - cto — cos - dv ) 



\ 2 Dv 2 / 



(tf 7 7)o f , \ 

 o sen - <w -f- cos - dv 1 

 2 7)y 2 / 



e 1 



t = v cot - — u tg - 



sono differenziali esatti. Ponendo : 



e T (osen^^ — — wsLiv \—sen<rda , g -T (osen^H-— cosato \=senad(3 , 

 \ 2 7)y 2 y \ 2 7)y 2 / 



otterremo con quadrature i doppi sistemi di linee («,/?) che danno all'ele- 

 mento lineare del piano la forma 



ds 2 = e~ 2 ' da 2 + 2 cos a da d§ + e 2T # 2 . 



« Pel caso di un sistema (a ,-/?) ortogonale la medesima questione è 

 stata risoluta dal sig. Zaremba ( l ), che è pervenuto ad un'equazione a deri- 

 vate parziali facilmente riducibile alla forma (6). 



« 5. 1 sistemi di curve piane sopra considerati, e in particolare i sistemi 

 ortogonali (n , v) che danno all'elemento lineare del piano la forma 



(10) ds 2 = o 2 du 2 + (-^-) 2 ^ 2 , 



ove o è una soluzione dell'equazione 



= 



( l ) Comptes rendus de l'Académie, 20 Janvier 1890. 



