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poiché, per le (3), la condizione d'integrabilità risulta identicamente soddi- 

 sfatta, mentre ne segue che q soddisfa l'equazione di Laplace 



< 6 > ^ + * = 



« Inversamente se p è una soluzione qualunque della (6), i valori (5) di 

 Ti r 2 soddisfano le (3) e quindi, eseguendo le quadrature (4), si avrà una cor- 

 rispondente superficie S della classe CP il cui elemento lineare ds sarà dato da 



(7) ds 2 = 4 cos 2 — <— -f- tg — tgh t . pi du 2 ~\-4: sen 2 — }— — cot — tgh t.g[ do 2 . 

 w 2 8 2 & *) 2 (1)0 2 6 s ) 



Confrontando queste forinole con quelle del n. 31 della mia Memoria citata ( : ), 

 vediamo che esse se ne ottengono come caso particolare ponendo 



lì = 0 , sen 0 = — tgh t , cos 0 = — — 7 — • 



cosh t 



« 3. Indichiamo con w una terza variabile, oltre u, v, e consideriamo 

 la funzione E di u, v, io definita dalla formola 



(8) E = 0 (u, v) + --— fw cosh (t -h 10) dio , 



v v y sen e J v ' 



ovvero 



(8*) E = 0 (u, v) ~j~ C ° S f fw cosh + Se "^ - fw senh 10 dio , 

 v sen a J sen e J 



dove W è una funzione arbitraria di w e o (w, y) una soluzione qualunque 

 della (6). Questa funzione E soddisfa le tre equazioni : 



D 2 E _ D 2 E <y , , , DE D 2 E 

 = — E , = — tg — - tgh (t -hto) — , = 



= cot — tgh («-)-«;)— . 

 2 Iìw 



« Conseguentemente i coefficienti della forma differenziale 



A) H t 2 <^ 2 + H 2 2 rfc 2 -f- H 3 2 dio 2 , 



dove Hi , H 2 , H 3 hanno i valori seguenti 



H t = 2 cos 4" S^.+ R tg v tgh (t + 10)) 



H 2 — 2 sen j— — E cot ~- tgh (2 + 

 E sen e 



rio. 



cosh (7 + 



soddisfano alle equazioni di Lamé e la forma stessa appartiene quindi al 

 quadrato dell'elemento lineare dello spazio ordinario. Le effettive espressioni 

 delle coordinate x, y, 2 di un punto dello spazio in funzione dei parametri 



(i) Annali. T. XVIII. 



