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è parallela alla tangente in P' al parallelo della sfera che passa per P\ D'altra 

 parte, per le note proprietà della rappresentazione sferica, la tangente in P 

 ad una linea di curvatura è parallela alla tangente in P' all' immagine sfe- 

 rica della linea stessa. Ne segue adunque : L e superficie della classe <P 

 sono tutte e sole quelle che hanno per immagini sferiche 

 delle linee di curvatura un doppio sistema di linee losso- 

 dromiche inclinate sui paralleli dello stesso angolo. 



« Il problema è così ricondotto alla ricerca delle superficie che hanno 

 per immagine sferica delle linee di curvatura questo doppio sistema di los- 

 sodromie. Esso rientra quindi nel problema generale di determinare le super- 

 ficie con assegnata rappresentazione sferica delle linee di curvatura, problema 

 che si riconduce in ogni caso, come è ben noto, ad un'equazione di Laplace; 

 questa, come ora dimostreremo, si può ridurre nel caso nostro alla forma a). 



« Prendiamo sulla sfera a linee coordinate u, v il doppio sistema orto- 

 gonale di lossodromie considerato e sia — l'angolo costante sotto cui le 



Li 



linee u = cost. te tagliano i meridiani. Con semplici calcoli troviamo per l'ele- 

 mento lineare sferico riferito a queste linee coordinate la forma 



i/o 1 i du 2 dv 2 



(1) ds' 2 = , g \ h 



cosh 2 1 < „ e „ <? 



f cos' — sen 2 — 



\ U Li 



dove per brevità si è posto 



mentre per le formolo effettive che esprimono le coordinate 



X, Y, Z 



di un punto mobile sulla sfera in funzione dei parametri u, v abbiamo 



_ cos (u + v) sen(u-hv) 



(2) X " cosh* ' Y ~ cosh* ' * = t^t. 



« L'equazione di Laplace cui soddisfa la distanza W dell'origine dal 

 piano tangente della superficie diventa nel caso nostro 



h cot — tgh t — tg — tgh t = 0 



l>u ~òv 2 "òli ° 2 6 Dv 



e, colla sostituzione 



W 



E 



cosh£ 



prende la forma enunciata 



a) — + K-0. 



~ÒU ~ÒV 



« Nota una soluzione R di questa equazione, le formolo di Weingarten 



