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ad un'analisi diretta. Per brevità indicherò le superficie definite sopra come 

 superficie della classe <2>. 



« Si vedrà come la ricerca delle nostre superficie (delle quali le super- 

 ficie del Monge con un sistema di linee di curvatura in piani paralleli sono 

 evidentemente un caso particolare) si riduce all'integrazione della ben nota 

 equazione a derivate parziali: 



a) -|-o = 0: 



da ogni soluzione nota della a) si deduce con sole quadrature una corri- 

 spondente superficie della classe <P. 



« La proprietà più notevole delle superficie in discorso è la seguente, 

 che permette di associarle in serie appartenenti a sistemi tripli ortogonali. 

 Supponiamo date ad arbitrio una superficie S della classe <P ed una curva C, 

 uscente da un punto di S normalmente alla superficie e situata in un piano 

 normale ai piani paralleli che producono nella S sezioni inclinate di un an- 

 golo costante sulle linee di curvatura. Dimostreremo che ne risulta indivi- 

 duata un'intera serie oo 1 di superficie della classe <t>, che appartengono ad 

 un sistema triplo ortogonale ed hanno per traiettorie ortogonali altrettante 

 curve piane, fra le quali la curva C assegnata. Le superficie degli altri due 

 sistemi hanno quindi un sistema di linee di curvatura piane i cui piani sono 

 paralleli ad una retta fissa e tagliano le corrispondenti superficie dell'una 

 o dell'altra serie tutte sotto il medesimo angolo. Per ogni soluzione nota 

 della a) la determinazione dei corrispondenti sistemi tripli ortogonali si 

 effettua con quadrature. Tali sistemi tripli non sono che un caso particolare 

 di quelli che contengono una serie di superficie (e quindi una seconda) con 

 un sistema di linee di curvatura piane. Ho trattato la teoria generale di questi 

 sistemi in una Memoria che comparirà negli Annali di matematica (T. XIX), 

 alla quale la presente Nota apporta un necessario complemento. 



« Della stessa equazione a) darò poi una seconda applicazione geome- 

 trica alla ricerca di quei doppi sistemi di curve del piano che, intersecan- 

 dosi sotto angolo costante, dividono il piano in parallelogrammi infinitesimi 

 equivalenti. Questi sistemi di curve del piano hanno una relazione geometrica 

 notevole colle superficie della classe <E> di cui qui trattiamo. 



« 1. Supponiamo che le sezioni fatte in una superficie S con piani paral- 

 leli ad un determinato piano, taglino le linee di curvatura di un sistema 

 (e quindi quelle del secondo) sotto angolo costante. Facciamo della super- 

 ficie S la rappresentazione di Gauss sopra una sfera di raggio eguale all'unità, 

 e riguardiamo come paralleli della sfera i circoli situati nei piani paralleli 

 al piano fisso. Sia P un punto qualunque di S, P' il punto immagine sulla 

 sfera ; consideriamo la sezione prodotta in S dal piano condotto per P paral- 

 lelamente al piano fisso e la sua tangente in P. Questa, come subito si vede, 



