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tali però che le forme 4( .¥ contengano soltanto n — 1 serie di variabili, 

 e dove H è la speciale operazione di polare ( 1 ): 



^yx 1 J ••• D 



yv 



(2) h-(^.;.)I-^-^--|- 



B cx D VÌJ ... (n — l)-)-D CT 



« È evidente infatti, per la stessa definizione di H, che la prima parte 

 del secondo membro della (1)' sarà così una forma algebrica esattamente 

 divisibile per il determinante (x , y , ... v). 



« 2. Ora noi prenderemo appunto la formola (1)' come punto di par- 

 tenza per la estensione a cui si è accennato nel titolo di questa Nota. Ci 

 proporremo, cioè, di stabilire la formola più generale : 



(3) p = k . jf +Yj r. J- F 



i 



in cui K è una qualunque di quelle speciali operazioni di polare fra 

 le se , y , ... , v che godono (al pari di H) della notevole proprietà di essere 

 permutabili con ogni altra operazione di polare fra le stesse serie ( 2 ). La 

 dimostrazione che noi daremo (dalla quale apparirà la necessità di imporre 

 alcune restrizioni alla generalità di K), non presupponendo menomamente che 

 sia già stata stabilita la formola (1) od (1)', si potrà al tempo stesso con- 

 siderare come una nuova dimostrazione di queste forinole e quindi anche 

 del teorema menzionato in principio sullo sviluppo delle forme algebriche a 

 più serie di variabili. Questa nuova dimostrazione ci sembra avere sulle 

 poche che finora si conoscono ( 3 ) un doppio vantaggio. Infatti, nel mentre 



( 1 ) Cfr. Ueber die Zuriickfiihrung der Cayley' 'schen Operation Sì auf gewohnliche 

 Polar-Operationen. Mat.hem. Aimalen. Bel. XXIX. Adottiamo la consueta notazione: 



( 2 ) Cfr. Ricerca delle operazioni invariantive fra più serie di variabili permuta- 

 bili con ogni altra operazione ìnvariantiva fra le stesse serie. Atti della E. Acc. delle 

 Scienze fìsiche e matematiche in Napoli, serie 2 a , voi. I, 1888. Oltre all'operazione H vi 

 sono altre n — 1 operazioni fondamentali che godono della permutabilità. Esse sono com- 

 prese nel tipo 



__ ~&yx T)yy~\~ì-~\~Q ■■• Dyu 



~D VX D«2/ — ~£><»>-\-{n— 1)+(> 



da cui si deducono dando al parametro q altrettanti valori distinti. Si avranno p. es. le n 



operazioni permutabili fra loro linearmente indipendenti: H 0 = H , Hi , H 2 , ... , H n - 1 . 



E si potrebbe dimostrare che ogni operazione permutabile K è poi compresa nel tipo 

 a a a _ 



2 c . H 0 H, 1 ... H '\ 1 essendo le c dei coefficienti costanti arbitrari. 



a 



n—i 



( a ) Nella mia Memoria: Sur les opérations dans la théorie des formes algébriques 

 (Math. Annalen Bd. XXXVII) si trova riprodotta, benché con importanti semplificazioni, 



