— 163 — 



essa si raccomanda per la sua semplicità, ci fa al tempo stesso conoscere 

 le espressioni effettive, delle operazioni 4 , J t , /,[' che compongono la (3) ('). 



IL 



« 1. Sia dapprima K un'operazione qualunque di polare fra le n serie 

 di variabili x = x y , x 2 , ... , Xy. , y=y t , y% . ... , yu., ... , v = v x , v 2ì ... v v . delle 

 quali, per maggior generalità, lascieremo indeterminata la specie (x — 1. Se 

 indichiamo per brevità con 



(4) Di , D 2 , D 3 , ... , D M 



le M = ìl ^ % — — operazioni elementari : 



Da»/ -, D^ , ... , T) xv 



(5) 



Dy- , ... D,j V 



D ( , 



sappiamo, per un teorema fondamentale sulle operazioni di polare ( 2 ), che 

 l'operazione K si potrà scrivere identicamente sotto la forma 



(6) K=ip (LU , D w , ... , D«„) + . D°' D™' 2 ... DJ" 



a 



dove le sono composte esclusivamente con operazioni elementari diverse 

 dalle (5) e dove xp (J) xx , D, yi , , D vv ) indica un aggregato razionale intero 

 delle n operazioni improprie D^- , D, ,„,..., D^,. 



« Supponiamo ora che l'operazione K sia permutabile con tutte le altre 

 operazioni di polare fra le stesse serie x , y , ... , v. In tal caso noi potremo 

 ritenere che in ogni termine della sommatoria, che figura nel secondo membro 

 della (6), si abbia sempre: 



(7) «i + «* + - + «m > 0 . 



« Infatti ogni operazione K permutabile a tutte le altre, gode della pro- 

 prietà di essere simmetrica ( 3 ) rispetto alle n serie x , y , ... , v e, per con- 

 seguenza, di lasciare inalterato, in ogni forma razionale intera a cui venga 



la stessa dimostrazione data nella Memoria già citata. Un'altra dimostrazione, comunica- 

 tami recentemente dal sig. J. Deruyts, si trova nelle Memorie: Sur les transformations 

 linéaires et la théorie des covariants (Mém. de l'Acad. roy. de Belgique t. LI e: Sur 

 les covariants primaires (Bullet. de l'Acad. roy de Belgique 3 a sèrie, t. XX, n. 7, 18%). 



( ! ) Riguardo all'ulteriore semplificazione di tali espressioni effettive, ci riserviamo di 

 ritornare prossimamente sull'argomento. 



( 2 ) Fond. ecc. § I, art. 5. 



( 3 ) Vedi la Nota: Sopra la permutabilità delle operazioni invariantive. Rendiconti 

 della R. Accad. delle Scienze fisiche e matematiche di Napoli 1886. 



