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applicata, il grado di ogni singola serie di variabili. Ora è facile vedere che 

 questa proprietà non è conciliabile colla supposizione che si abbia 



«1 + «2 + ». + «M = 0 



se non quando si voglia ammettere che l'espressione (6) si riduca semplice- 

 mente alla forma 



K = tp (D xx , Dyy , D w ) 



e questo caso semplicissimo noi lo possiamo escludere a priori, poiché per 

 una cosifatta forma di K il teorema da dimostrarsi è senz'altro evidente, 

 giacché, se P è una forma algebrica risp. dei gradi m x , ... m % , ... , m n nelle 

 serie x , y , ... , v , si ha pel teorema di Eulero sulle funzioni omogenee: 



F — ~, 7 \ • ^Pti^xcc ■> -D-i/V ) •■• ' -Dot) • 



ip (mi , m 2 , ... , m n ) 1 JJ ' 



« 2. Ciò premesso, proponiamoci di stabilire la formola (3) per tutte 

 quelle forme F il cui grado totale nelle n serie di variabili x , y , v sia 

 ó , cosicché, se m x , m z , ... , m n sono i gradi di F risp. nelle x , y , ... , v , 

 si abbia 



(8) m\ + m z + ... + m n = ó 



onde è chiaro che questo numero ó resta il medesimo per la funzione F e 

 per tutte le funzioni che da essa si deducono mediante operazioni di polare 

 fra le x,y,... : ,v. Quanto all'operazione permutabile K, noi faremo soltanto 

 la restrizione, che si troverà giustificata nel 'corso della dimostrazione, che 

 la funzione razionale intera ìp {m-^ , m 2 , ... , m n }, ad essa relativa secondo 

 l'espressione (6), goda della proprietà di avere un valore diverso da zero per 

 tutti i sistemi di numeri interi positivi e diversi da zero wii , m 2 , ... , m n , 

 che soddisfano alla (8). Consideriamo inoltre la funzione 



(9) 0 (ra, , m t , ... , M n ) = ,(H — 7 -1) 'm\ -f- (n — 2) m 2 + ... + 2w n _ 2 + m n -i 



il cui valore è sempre intero e positivo qualunque siano i gradi mi , m 2 , ... , ffl»-i. 

 Per istabilire la formola (3) sarà sufficiente di dimostrare che, se essa è 

 possibile per quelle forme F di grado totale S per le quali la funzione 

 6 (m , m z , ... , m n ) ha un valore minore di un certo intero positivo k, essa 

 lo sarà del pari per le funzioni di grado totale ó per cui si abbia 

 0 (mi , m 2 , ... , m„) = k, giacché essa è evidentemente possibile per il valore 

 minimo di questa funzione. Noi supporremo dunque che per tutte le forme cp 

 di grado totale à e di gradi parziali .«j , « 2 , ... , u. n soddisfacenti alla con- 

 dizione 



(10) 



sia possibile un'espressione della forma 



(11) d> = K . J<1> Ji <l> 



in cui le Al. W non contengono che n — 1 serie di variabili, ed in base a 

 tale supposto dimostreremo che la formola (3) è anche possibile per una 



