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qualunque forma F di gradi m'i , m s , ... , m n e di grado totale S per la 

 quale sia 



(12) tì (ni,. , m 2 , ... , m n ) = k . 



Applicando, infatti, l'espressione (6) dell'operazione K a quest' ultima forma F, 

 si può evidentemente scrivere 



(13) KF = xp (m y , m 2 , ... , m n ) . F — J l D, F — J 2 D 2 F — ... — J M D M F 



essendo le 4 1 , J 2 , J M certe operazioni di polare ben determinate indipen- 

 dentemente da F. Da questa eguaglianza si deduce ora: 



(14) F --- — — ' — rjKF + ^ 1 D 1 F + ^ 2 D 2 F-f... + ^ M D M F|. 



xp («li , m 2 , ... , m n ) ( 11 ) 



Farebbe eccezione soltanto il caso in cui si avesse: 



ip (mi , m 2 , ... , m n ) = 0 , 



ma questo caso si può ritenere escluso, poicbè, se esso si verificasse, è chiaro 

 in virtù della restrizione fatta circa la natura della funzione ip, che uno 

 almeno dei gradi mi , m 2 , ... , m n dovrebbe essere uguale a zero, onde 

 la F [x , y , ... , v) non conterrebbe che n — 1 serie di variabili e la possi- 

 bilità della forinola (3) sarebbe quindi in tal caso senz'altro evidente. 



« Ciò posto, se noi paragoniamo una qualunque delle funzioni F^ F , D 2 F,... 

 che figurano in (14) colla F, vediamo che il grado di una certa serie, p. es. mi. 

 si troverà diminuito di un' unità, nel mentre che si troverà aumentato di 

 un' unità uno dei gradi successivi ad rm , p. es. ntj (j > i). Quindi, se 

 ,«! , [à 2 , ... , /( n sono i gradi di una qualunque delle forme J) p . F, si avrà 

 evidentemente : 



6 (/<! , (x 2 , ... , n n ) < tì (ni! , m 2 , ... , m n ) , 



cioè i gradi , /f 2 , ... , soddisferanno alla (10) e si avrà quindi secondo 

 il supposto un'espressione della forma: 



D /( F — K . JD h F J i Vh F 



dove le forme J( D h F contengono soltanto n — 1 serie di variabili. Se ora 

 sostituiamo queste espressioni delle D h F nella (14) e teniamo conto della 

 permutabilità di K, è chiaro che la (14) ci darà appunto, anche per F, 

 un'espressione affatto conforme alla formola (3), c . d . d. 



« Lasciando indeterminato il grado totale ó, si può dedurre da quanto 

 si è dimostrato che l'espressione data dalla formola (3) è pos- 

 sibile, per ogni forma F e per ogni operazione permutabile K, 

 semprechè la funzione razionale intera ip (nii , m 2 , ... ,m n ) rela- 

 tiva a K goda della proprietà di mantenersi diversa da zero 



Kendiconti, 1891 Vol. VII, 1° Sem. 21 



