per tutti i valori interi, positivi e diversi da zero delle 



m x , m z , ... , m n 



« 3. La dimostrazione dell'articolo precedente ci fornisce al tempo stesso 

 un metodo abbastanza diretto per costruire l'espressione effettiva della for- 

 inola (3), quando siano dati i gradi m x , m 2 , ... m„ della funzione F. Nulla 

 infatti ci impedisce di porre nella formola (14), in cui F è una forma affatto 

 arbitraria, in luogo di F una qualunque delle forme Di F , D 2 F. ... Allora, 

 se [.ii , [i 2 , ... , [i n sono i gradi di D, F e poniamo per brevità 



ip (mi , m% , ... , m n ) — </> 0 , *p , /<2 , ... , n n ) = Vi , 

 si avrà per xpi SS 0 : 



Di P = 4- 1 K . Di F + 4% Di F + J z D 2 D f F -f- ... + J K D M Dj F J 



il che sostituito in (14) si avrà poi: 



1 i " 1 ~ì 1 M M i 



(15) F = —K 1 + > — A D, F + —I I— ^ D, Di F . 



La prima parte del secondo membro contenendo l'operazione K è già con- 

 forme alla formola (3), nè dovrà ulteriormente trasformarsi. Lo stesso dicasi 

 di quei termini della doppia sommatoria pei quali la funzione Dj Dj F con- 

 tenesse soltanto n — 1 serie di variabili. Quanto agli altri termini, invece, 

 si trasformeranno sostituendo a Dj Dj F la sua espressione data dalla (14). 

 Indicando in generale con */>i, j, ?, r , ... il valore di W ([ti , ,« 2 , ... , ,t/ n ) in cui 

 [ii , jW 2 , ... , [i n siano i gradi della forma ... D,.Dj Dj Dj F , ed applicando la 

 trasformazione in parola a tutti i termini della doppia sommatoria (per cia- 

 scuno dei quali supporremo per semplicità ¥\j<0) si otterrà: 



1 M _ 1 M M , v 



f o v »=i </-i j =1 t=1 ri • ¥ y ; 



1 M M M i 



+ 3-1 1 : A Jj A Dj Dj Dj F . 



lf>0 1=1 j = i i=i ipi IJJij 



Allo stesso modo si procederà trasformando ulteriormente quelle forme 

 Dj D; D; F che contengono ancora tutte le n serie di variabili, e sostituendovi 

 forme del tipo D r Dj Dj Dj F . E così si continuerà finché tutte le forme 

 ... D,. Dj Dj Dj F , che si saranno presentate nell'ultima parte del secondo 



(!) Le operazioni permutabili H- 1 ,H_ 2 ,H- S , ... (secondo la definizione di H p data nella 

 nota del § I) non soddisfano a questa condizione, e nel fatto si potrebbe dimostrare che 

 la formola (3) non può sussistere per queste operazioni. Per l'operazione H 0 la formola (3) 

 è sempre possibile ed in un modo unico. Invece, per le operazioni H :t in cui 3 è un 

 numero qualunque diverso da 0 , — 1 , — 2 , — 3 , questa formola è sempre possibile in 

 infiniti modi, come è facile riconoscere considerando che in tal caso le forme F ed H p . P 

 sono equivalenti (vedi l'articolo appresso). 



