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membro, contengano soltanto n — 1 serie di variabili, ciò che accadrà certa- 

 mente dopo un numero limitato di trasformazioni (')• 



« 4. Chiuderemo con due teoremi, dei quali il secondo è una conseguenza 

 importante della forinola (3). 



"1°) Se K — (f (D xx , D yy , ... , D r[ , , D xy , D^- , ..) è un' operazione 

 di polare, fra le serie x ,?/,..., v , permutabile con tutte le 

 altre operazioni fra le stesse serie, anche l'operazione 

 (Dra + ? , Dyj, -[-?,■ • Pt«4 ? i ^ ' > godrà della stessa 

 proprietà, qualunque sia il valore del parametro costante q. 



« 2 P ) Se l'operazione permutabile <f(D xx , D W ,...,D OT , D X y,J) yz ,...) 

 soddisfa alle condizioni richieste perchè sia possibile la 

 formola (3), per l'operazione K.i = (p(D xx -\- 1 , D^-f" 1 ■> , 

 D xy -, Dy- , •••) non solamente sarà possibile la formola (3), ma 

 si avrà più semplicemente 



cioè le due forme F e K x F saranno fra loro equivalenti qua- 

 lunque sia F. 



« Designando, infatti, con (xy ... v) il determinante X\ y 2 ... v n , si 

 ha per la supposta permutabilità di K : 



Dpq K . (xy ... v) F — K Dpq . (xy ... v) F (p , q — x , y , ... , v) 

 o, che è la stessa cosa, 



(xy ... v) Dpq Kj F — (xy ... v) K x Dpq F 



onde appunto 



Dpq K, F = Kj Dpq F . 



« Il secondo teorema si deduce con artifizio simile dalla formola (3) 

 applicandola al prodotto (xy ... v) . F ed osservando che in tal caso il secondo 

 membro della (3) si ridurrà alla sola prima parte, poiché per supposto l'ope- 

 razione 41 fa sparire una delle serie di variabili dalla funzione su cui si 

 opera, con che il determinante (xy ... v) si cambierà in un determinante della 

 forma (yy ... v) che è identicamente nulla » . 



(!) Nel caso più sfavorevole si dovranno eseguire ti (mi , m 2 , ... , m n ) — ti (1 . 1 , ... , 1) 

 trasformazioni, poiché il minimo valore che può prendere ti ( l u 1 , /j., , .. ,(*„) senza che 

 alcuno degli argomenti abbia valore nullo è dato evidentemente da 



fl (1 , 1 , ... , 1) = (n - 1) + (» - 2) + ... +3+1= » ( * 0 ~ 1] - 



