— 178 — 



calcolo delle variazioni (') e potranno applicarsi i noti procedimenti impie- 

 gati per varie classi di equazioni lineari alle derivate parziali provenienti 

 da problemi di calcolo delle variazioni. Di ciò spero potermi occupare in 

 un'altra comunicazione. 



« Faccio osservare per ultimo che in ogni questione fìsica la determina- 

 zione del potenziale cinetico ( 2 ), è subordinata alla ricerca della dipendenza 

 delle equazioni relative alla questione stessa da un problema di calcolo delle 

 variazioni. Ottenuto il potenziale cinetico, una sua decomposizione in due 

 termini (la cui differenza è l'energia del sistema) uno dei quali omogeneo e 

 del 2° grado rispetto alle derivate prime (prese relativamente al tempo) dei 

 parametri che individuano lo stato del sistema, l'altro indipendente dalle deri- 

 vate stesse, dà una interpretazione meccanica della questione, perchè la col- 

 lega a delle equazioni differenziali aventi la forma data da Lagrange alle 

 equazioni della dinamica. Se in tal modo si giunge a trovare che la questione 

 comporta una interpretazione meccanica essa, come osserva acutamente il 

 Poincaré, è suscettibile di averne infinite altre ( 3 ). 



« Perciò non ho approfondito nessuna di quelle che discendono imme- 

 diatamente dalle questioni di calcolo delle variazioni considerate in questa Nota. 



§ 1. 



« 1. Siano f\...f m , m funzioni delle variabili Poniamo 



~ÒX S 



e consideriamo la funzione 



F (/i ... f m , /V" . . /ì (S) ••• X\ ••• X n ) ' 



È facile dimostrare il teorema : 



«La condizione necessaria e sufficiente affinchè le equa- 

 zioni differenziali che provengono dall' annullare la varia- 

 zione prima di 



V = -j F d,Xi ... dx n 

 siano del primo ordine è che si abbia 



V — P F » 4) _l y. y, t/m^ d(fj t fu) v. v, T? hi ~ h r d ( fi, ..fi r ) 



V* a{x hl x h2 ) % i- A r d{x lll -x ìlr .) 



essendo le 



( l ) Vedi iti questi Rendiconti (1890) la mia Nota sul calcolo delle variazioni. 

 ( 2 j Helmholtz, Ueb. die phys. Bedeutung des Princips der kleinsten Wirkung. Creile 

 Ed. 100. 



( 3 ) Poincaré, Electricité et Optique p. XIV, XV. 



