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ma le qì sono tutte fra loro indipendenti, quindi le componenti y r dt della 

 accelerazione spontanea sono definite dalle equazioni 



(1) y.rdt = — dt Z aij,h a hr c/i q'j 



ijh 



e le equazioni del moto saranno 



(2) Q,. = ^ Ciri q " -+Z «y,r q'i q'j ■ 



i ìj 



Queste coincidono con quelle di Lagrange. Si ha infatti 



V ir , v ' ' d s~ / ~da r i \ r r 



4 ari qi + - uij - r q iCu= Ttiur v + 4 r i,r ~ ) ry * 1 ^ = 



d d¥j 1 y da.jj , , d dE dE 

 ~ dt dq'r ~ dq r qi(Jj ~ dt dq , ~ dq r 



come volevasi provare. 



« 3. Nella fisica matematica vengono spesso adoperate le equazioni di 

 Lagrange, senza che l'espressione \2a rs qr ql della energia cinetica possa 

 dedursi da quella di un sistema di punti materiali riferiti a coordinate car- 

 tesiane, conviene quindi dimostrare come, anche senza ricorrere a queste 

 coordinate, il nostro metodo fornisca direttamente le equazioni di Lagrange. 



« Supponiamo che sostituendo alle n variabili q t altre n variabili indi- 

 pendenti pi si abbia 



Z «r« q'r q's = Z b > s p'r /, ; 

 fra le q\ p' hanno luogo le relazioni q'i = Z p'j- dalle quali si ha 



e, poiché con calcoli facili abbiamo 



^Pì^Pj ' dp-, ^hT dpi dpj 



si otterrà 



?/'H-Z dgh,u a hr q' g q' h =Z PÌ' +5- b™,\ b Xi p)'iJ.p'y 



ghh i dPi |_ [Mi 



dunque le espressioni q" r -+- Z a g}t , 1{ a 1 "' q' u q\ sono legate alle altre 



p"i -+- Z Òum,% b Xi p',j. p\ dalle stesse equazioni, che legano le q alle //. Il de- 



terminante funzionale delle q rapporto alle p è diverso da zero, quindi alle 

 funzioni x r del tempo che soddisfano le equazioni 



#/'+Z a gh,n a 1 "' ®'g x 'h = 0 



ghh 



corrisponderanno per le coordinate p delle funzioni y che soddisfaranno equa- 

 zioni della stessa forma. Determiniamo le x r in modo che per / == ti, le x r , x' r 

 divengano uguali ai valori che in quel tempo prendono le q r , q'r, allora le 



