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u 3. Per la costola 45 del pentaedro passa il piano diagonale di prima 

 specie relativo al vertice 123 e le facce 4 e 5 del pentaedro. Costruiamo 

 in questo fascio di piani il coniugato armonico 7r 123 del piano diagonale ri- 

 spetto alla coppia 4 e 5. L'omologia armonica, che rappresenteremo con -5" 12 3 , 

 di cui 123, 7r 123 sono rispettivamente centro e piano fondamentale trasforma 

 il pentaedro in sè stesso portando in sè stesse le facce 1, 2, 3 e scambiando 

 fra loro gli elementi delle facce 4 e 5. Evidentement3 si possono stabilire 10 

 di tali omologie. La 2 1Z3 trasforma l'uno nell'altro i due quadrilateri formati 

 con spigoli pentaedrali situati nei piani 4 e 5. Altrettauto per conseguenza 

 accadrà dei loro trilateri diagonali. Cioè le 15 diagonali di l a specie si co- 

 stituiscono in 10 coppie di triangoli prospettivi corrispondenti nelle 10 omo- 

 logie armoniche 2 m . Dunque : 



« Le diagonali di prima specie, oltre incontrarsi a tre, 

 a tre nei vertici; s'incontrano a due, a due in altri 15 punti 

 i quali giacciono a due, a due sopra 30 altre rette passanti 

 a tre, a tre per i vertici del pentaedro. 



« Quindi ogni diagonale di prima specie, ne incontra altre 6 : 4 nei due 

 vertici del pentaedro che contiene, e le altre due, in due punti coniugati 

 armonici rispetto ai vertici. 



« I 15 punti del teorema precedente li chiameremo punti diagonali di 

 prima specie, le 30 rette: rette diagonali di seconda specie. 



« 4. Consideriamo i piani diagonali dei vertici 145 e 345 i quali giac- 

 ciono sulla medesima costola 45. 



« Questi piani si tagliano lungo una retta che passa per 123 vertice 

 corrispondente a 45. Il 1° di essi contiene la costola 32 corrispondente a 145, 

 e il 2° la costola 12 corrispondente a 345. Per conseguenza, il primo con- 

 tiene le diagonali di prima specie: (145, 123); (145, 234); (145, 235) e 

 il 2° contiene le: (345, 123); (345, 124); (345, 125). Ora le: (145, 123); 

 (345, 123) si tagliano in 123; le (145, 234), (345, 124) appartengono alla 

 faccia 4 ; le (145, 235), (345, 125) appartengono alla faccia 5, dunque la 

 retta intersezione dei piani in discorso passa per 123 e incontra le facce 4 e 5 

 in due punti diagonali di 1 a specie ; cioè per il teorema del § precedente, 

 tal retta è una diagonale di 2 a specie. 



« Così queste 30 diagonali di seconda specie figurano come intersezioni 

 di piani diagonali relativi a vertici non corrispondenti (come erano 145 e 345). 

 Se i vertici si corrispondono, come per esempio 123 e 145, la intersezione dei 

 loro piani diagonali è evidentemente la diagonale di prima specie (123, 145). 



« Rilevando le analogie e le differenze che passano fra le diagonali di 

 prima specie e quelle di seconda, si può osservare che tanto le prime, quanto 

 le seconde, contengono due punti diagonali di l a specie e che per un vertice 

 del pentaedro, ne passano ugualmente tre di prima e tre di seconda ;. però le 

 tre di prima specie giacciono in un medesimo piano (diagonale) e ognuna 



