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contiene un altro vertice del pentaedro, il che non avviene per quelle di 

 seconda specie. 



« L'insieme dei 10 piani diagonali dà luogo ad un decaedro che chiame- 

 remo decaedro diagonale. Allora dalle considerazioni precedenti risulta che : 



« Le 45 costole del decaedro diagonale sono costituite 

 dalle 15 diagonali di prima specie e dalle 30 diagonali di 

 seconda. 



« 5. Riprendiamo la diagonale di seconda specie considerata al principio 

 del § precedente, quella cioè dovuta all'incontro dei piani diagonali di 145 

 e 345. Abbiamo visto che essa contiene i punti diagonali di prima specie : 

 ]{124, 345); (234, 145) j; J (125, 345); (235, 145) |. Risulta intanto che 

 per ogni punto diagonale di prima specie passano quattro piani diagonali. 

 Questi si taglieranno secondo 6 diagonali di cui due saranno di prima specie 

 e 4 di seconda. Infatti nel primo dei punti diagonali sopra indicati si ta- 

 gliano i piani diagonali di 124, 345, 234, 145. Ora, nelle sei coppie a cui 

 danno luogo questi vertici ne abbiamo due formate con vertici corrispondenti 

 e 4 con vertici non corrispondenti e quindi (§ 4) le prime daranno luogo a 

 diagonali di l a specie; le seconde a diagonali di 2 a . Anche in un vertice 

 del pentaedro concorrono 4 piani diagonali e cioè il piano diagonale del ver- 

 tice stesso e quelli dei tre vertici che gli corrispondono. Allora la solita 

 diagonale di seconda specie intersezione dei piani diagonali di 145 e 345 

 incontra in 123 i piani diagonali di 123 e 245 ; nei due punti diagonali 

 di l a specie che contiene incontra quelli di 124, 125, 234, 235 : onde essa 

 ulteriormente non incontra più. che i piani diagonali di 134 e di 135. Per 

 ciascuno di questi due punti passano dunque tre piani diagonali. Uno di tali 

 punti è quello comune ai piani diagonali di 145, 345, 134. Per esso pas- 

 sano tre diagonali di seconda specie, perchè le tre coppie (145, 345); (145, 134); 

 (134, 345) sono formate con vertici non corrispondenti. Dunque il numero di 

 30 2 



questi punti è -—- = 20. Li chiameremo punti diagonali di 2 a specie. 



I vertici 145, 345, 134 definiscono un triangolo i di cui lati e vertici sono 

 spigoli e vertici del pentaedro. Lo chiameremo un triangolo pentaedrale ; 

 esso individua per mezzo dei piani diagonali dei suoi vertici un punto dia- 

 gonale di seconda specie. Così ognuno di questi punti diagonali è coordinato 

 a un triangolo pentaedrale in modo biunivoco. Abbiamo dunque trovato tutti i 

 vertici del decaedro diagonale, giacché ogni vertice del pentaedro e ogni punto 

 diagonale di prima specie ne assorbono 4 e i 20 rimanenti sono dati dai 20 

 punti diagonali di seconda specie, 

 e Possiamo quindi dire che: 



«Le 30 diagonali di 2 a specie si tagliano a quattro, a 

 quattro nei 15 punti diagonali di l a specie; a tre, a tre 

 nei 10 vertici del pentaedro e nei 20 punti diagonali di 

 2 a specie. 



