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« Il decaedro diagonale possiede due vertici tetraedri 

 sopra ciascuna delle sue costole che è diagonale di prima 

 specie, e tre vertici tetraedri e due triedri sopra ciascuna 

 delle sue costole che è diagonale di 2 a specie. I vertici te- 

 traedri coincidono con i 10 vertici del pentaedro fondamen- 

 tale e con i 15 punti diagonali di l a specie; i vertici triedri 

 con i 20 punti diagonali di 2 a specie. 



« 6. Abbiamo già notato al § 3° l'esistenza delle omologie armoniche S 

 che trasformano in sè stesso il pentaedro. I piani di omologia delle 2 li chia- 

 meremo per brevità i piani armonici del pentaedro, onde ogni vertice iJd 

 individua il proprio piano armonico n m che è piano fondamentale in 2 m . 

 Consideriamo in particolare tt 123 . Esso passa evidentemente per i tre punti 

 diagonali di P specie: [(124, 235); (125, 234)j;j(234, 135); (235, 134)j; 

 |(124, 135); (125, 134)j. I lati del triangolo di questi tre punti sono dia- 

 gonali di 2 a specie, perchè possono riguardarsi come intersezione dei piani dia- 

 gonali di ciascuna delle 3 coppie di vertici non corrispondenti : (234, 235) ; 

 (134, 135); (124, 125) e anche passano rispettivamente per 145, 245, 345. 

 Dunque ogni piano armonico contiene tre diagonali di seconda specie. Inoltre, 

 un vertice, come 123, ha 6 vertici che non gli corrispondono, onde il piano 

 diagonale di 123 conterrà 6 diagonali di 2 a specie dovute all'incontro di tale 

 piano con i 6 piani diagonali dei vertici che non gli corrispondono. Dunque: 



«Le 30 diagonali di seconda specie giacciono a sei, a sei 

 nei 10 piani diagonali; a tre, a tre nei 10 piani armonici. 



« 7. Prendiamo la retta comune ai piani armonici di due vertici appar- 

 tenenti a un medesimo spigolo e quindi non corrispondenti come 145 e 345. 

 Essa passa per 123 e segna sulle facce 4 e 5 due punti A e B tali che 

 proiettati rispettivamente da 134 e 135 sulle costole 24 e 25 danno i coniu- 

 gati armonici di 245 rispetto alle coppie 124, 234 e 125, 235. Per conse- 

 guenza A e B appartengono anche al piano armonico di 245. Cioè: 



«I 10 piani armonici passano a tre, a tre per 10 retto 

 ognuna delle quali contiene un vertice del pentaedro. 



« Ognuna di queste rette, che chiameremo assi inarmonici, è luogo di 

 punti uniti contemporaneamente per le tre omologie 2 di cui i centri appar- 

 tengono allo spigolo 45 del pentaedro. I piani armonici si tagliano eviden- 

 temente anche secondo altre 15 rette, passanti ognuna per un punto diago- 

 nale di prima specie. Così i piani armonici di 123 e 245 si tagliano secondo 

 una di queste rette (che chiameremo assi biarmonici), passante per il punto 

 diagonale di l a specie J(124. 235); (125, 234)|. Ogni asse biarmonico è luogo 

 di punti uniti per„_due omologie 2 di cui i centri appartengono a una mede- 

 sima diagonale del pentaedro. 



« 8. Sia r l'asse triarmonico che passa per 123, cioè la retta comune 

 ai piani armonici di 145, 245, 345. Io dico che i due punti diagonali di 



