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2 a specie coordinati ai triangoli pentaedrali 124, 234, 134 e 125, 235, 135, 

 appartengono a /'. Infatti nel punto diagonale di 2 a specie che è coordinato 

 al primo dei soprascritti triangoli pentaedrali, concorrono le tre diagonali di 

 2 a specie intersezione dei piani diagonali di (124, 234) ; (124, 134) ; (234, 134). 

 Quando si effettua una qualunque delle trasformazioni dovute a 2 li5 ; 2 34S ; 

 2 2 4 5 si vede facilmente che una di queste tre diagonali rimane fìssa e che 

 le altre due si scambiano; dunque il punto comune a tutt'e tre è unito nelle 

 tre omologie suddette e per conseguenza appartiene ad r. 



«I 20 punti diagonali di seconda specie oltre trovarsi a 

 due, a due sulle 30 diagonali di seconda specie e sulle 15 di 

 prima, giacciono anche a due, a due sui 10 assi triarmonici. 



« 9. Sulla faccia 4 del pentaedro abbiamo i suoi 4 spigoli : 

 (124, 234, 245); (234, 134, 345); (124, 134, 145); (345, 245, 145). 

 Evidentemente, gli assi triarmonici individuati dai primi tre passano per un 

 medesimo punto ; quello comune a : 7r 124 ; 7r 234 ; 7r 134 . Ciò porta che un tal 

 punto sia anche comune a 7r 145 ; 7r 245 ; 5t 345 , cioè che esso appartenga pure 

 all'asse triarmonico individuato dal 4" spigolo. Dunque : 



« Gliassitriarmonici s'incontrano a quattro, a quattro in 

 cinque punti e giacciono a tre, a tre nei 10 piani armonici. 



« Per ciascuno di questi punti passano i 6 piani armonici di vertici che 

 appartengono a una medesima faccia. Chiameremo questi punti : centri esarmo- 

 nici. L'asse triarmonico che passa per 123 taglia 7r 123 in un punto che non 

 può essere centro esarmonico, giacché ne verrebbe che gli assi triarmonici con- 

 tenuti in 7T 12 3 passerebbero per questo medesimo punto, il che non è (§ 12°). 

 Esistono dunque 10 punti per ognuno dei quali passano 4 piani armonici e 

 cioè i 4 che sono individuati dai piani armonici dei 4 vertici che si trovano 

 sopra un medesimo piano diagonale. Chiameremo questi punti centri tetr ar- 

 monici. Allora, riassumendo si ha: 



« I piani armonici passano a uno, a uno per i 10 spigoli 

 del pentaedro; a due, a due peri 15 assi biarmonici; a tre, a 

 tre per i 10 assi triarmonici; a quattro, a quattro per i 10 

 centri tetrarmon ici; a sei, a sei per i 5 centri esarmonici. 



« Ogni centro tetrarmonico è punto unito per 4 omologie 2 ; ogni centro 

 esarmonico lo è per 6. 



« 10. Il teorema precedente si può anche esprimere dicendo che i 10 piani 

 armonici sono le facce di un pentagono di cui i vertici sono i 5 centri esar- 

 monici; gli spigoli, i 10 assi triarmonici; i punti diagonali, i 10 centri te- 

 trarmonici; le diagonali di prima specie, i 15 assi biarmonici; ecc. ('). E rela- 

 tivamente a questi ultimi si ha quindi il teorema : 



( x ) Un pentaedro P individua un certo sistema co* di pentagoni contravarianti, rela- 

 tivi alle oc 4 superficie cubiche delle quali P può riguardarsi come pentaedro di Sylvester 



