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punti in ciascuno dei quali concorrono due rette sopranume- 

 rarie non coniugate. 



«Una sopranumeraria incontra altre sei sopranumera- 

 rie oltre la propria coniugata. 



« I 12 punti, ove le sei diagonali di seconda specie che 

 appartengono a uno stesso piano diagonale, incontra n o mes- 

 sia n a fuori dei punti doppi, giacciono a 6, a 6, sopra due s o - 

 pr anumera rie coniugate. 



« 5. 1 piani polari, rispetto alla superficie fondamentale, dei punti di una 

 sopranumeraria fanno fascio attorno alla sopranumeraria non coniugata ('). Sieno 

 A ; B i punti in cui una diagonale di seconda specie incontra l'Hessiana al- 

 l' infuori del punto doppio e «.,); {bi , b 2 ) le sopranumerarie concorrenti 

 in A e B rispettivamente e siano coniugate a 1 con b x ; a% con è 2 - Allora, per 

 il teorema citato sopra, il punto A ha per piano polare quello di b x e b- 2 ; 

 il punto B quello di ai , a%. Ossia : 



« I punti ove una diagonale di seconda specie incontra 

 l'Hessiana, fuori del punto doppio, sono tali che l'uno è il 

 vertice del cono polare dell'altro. 



« 6. Prendiamo lo spigolo 45 del pentaedro e consideriamo i piani dia- 

 gonali dei vertici che contiene. Essi si tagliano nelle tre diagonali di 2 1 specie 

 che passano per 123 vertice corrispondente a 45. Sieno q, b, c queste tre rette ; 

 ab, bc, ca i piani diagonali di 145, 245, 345 e siano inoltre (r./ , r 3 ') ; 

 OV i ; (r/" , ?Y") le tre coppie di rette sopranumerarie degli stessi 

 punti. Abbiamo già veduto che le sopranumerarie di vertici non corrispon- 

 denti s' incontrano, o meglio : nel caso, per esempio, di 145 e 245 si è 

 dimostrato che ciascuna delle r 2 - , r 3 ' incontra una e una sola e determinata 

 delle r 3 ", r". Per fissare le idee supponiamo che s'incontrino le sopranu- 

 merarie che hanno l'indice basso diverso. Allora la a che. è la diagonale di 

 2 a specie comune ai piani diagonali di 145 e 345 contiene i punti (r/ r"'); 

 (r-i t%") e per la stessa ragione le b e c contengono rispettivamente le due 

 coppie di punti: \(r z 'r 3 "), (r/r/')'; ÌOV'r/"), (n" ?%"')! • 



« Abbiamo così i due triangoli (r 2 ' r 3 " r"' / ; (r" r 3 ' rJ") che hanno 

 per lati le sei sopranumerarie in discorso e i di cui vertici stanno a due, 

 a due, sulle tre rette a ; b ; c . Dunque : 



«Le 20 rette sopranumerarie dell'Hessiana si aggrup- 

 pano in 10 coppie di trilateri prospettivi in ogni coppia es- 

 sendo centro e asse di prospettiva un punto di Eckardt e lo 

 spigolo corrispondente del pentaedro ed essendo coniugate 

 quelle che costituiscono lati corrispondenti di tali trilateri. 



« 7. Il piano di ognuno dei precedenti triangoli taglia l'Hessiana secondo 



(') Ciani, Sulle superficie algebriche simmetriche. Eend. Acc. dei Lincei, 1890. 



